Методическое пособие 446

1 рад=

° , 1 рад

.

≈ 57°

4,5рад=4,5∙

°

=

°

≈ 258°. .

рад =

∙

°

= 135°

90° = ∙

°

=

,

30

30

45° = 90∙

°

=

,

°

180° = 45∙

=

,

60

° = 180∙

°

=

,

°

270° = 60∙

=

,

°

360° = 270∙

=

,

°

° = 360∙

= 2 .

Пример 3. Определите знак выражения:

ба))sin > 0, т,.тк.к 0,9 рад угол I четверти;

угол II четверти;

в)

cos0.9 > 0

tg 3 < 0, т.к 3 рад угол II четверти;

г)

< 0, т.к

=

·

°

= 300° угол IV четверти.

а)0,2;

б)3,1;

в)

;

г)−

;

д)−

;

е)

.

2) Выразите угол α в радианах, если

а)α = 10 ;

б)α = 18 ;

в)α = 54 ;

г)α = 200 ;

д)α = 225 ;

е)α = 390 ;

ж)α = -45 ;

з)α = -60 .

в cos

а)

;

б)

;

)sin 1;

г)ctg 0,2.

tg α =

у

tg α=

х =

(2)

=

,

.

ctg α

(3)

ctg α=1,

(4)

tg α =

,

(6).

1+tg α =

1+

, (5)

25

12

1) cos α = −

1 −

169;

= −

13

,

т.к угол 2 четверти,гдеcosα < 0.

3)tg α

=

: − = −

;

2)

=

;

tg α∙ctg α = 1,ctg α =

= −

Ответ:

cosα = − ,tg α = − ,сtg α= −

.

Пример 2.

Дано: tg α = 2,

α < 0 <

.

12

Решениеsinα,cosα,:

ctg α

Найти:

.

1) 1+tg α =

, cos α =

=

=

.

π

0 < α <

2

,значит α −угол 1 четверти ,где

cosα > 0.

cosα =

=

√

=

√

;

√

√

2)tg α=

,sinα = tg α∙cosα = 2∙

=

;3)tg.α∙

ctg α = 1,

sinα =

√

;

cosα =

√

;

ctg α =

Ответ:

Пример 3. Упростите выражение:

а) 1− cos x = sin x+cos x− cos x = sin x;

б) sin x− 1 = sin x−sin x− cos x = −cos x;

в) (1− sinx)(1+sinx) = 1 −sin x = cos x;

д)

г)sinx ∙cosx ∙tg x.

= sinx∙cosx∙

sinx

= sin x;

=

= tg x

cosx

Задания для самостоятельного решения:

1) Найдите

sin

α,

tg

α,

ctg

α,

если cos α =

<α<2π.

=

2)иНайдите значение тригонометрических функций

угла , если известно что:

π

a)sinα =

3

и

0 < α <

;

5

2

√3

π

б)tg α = −

уголи

<

<

;

2

в) ctg α = −2,5

и

α−

3

4) sinα∙cosα∙tgα = sinα∙cosα;

∙

= sin ;

3)

=

= tg α

5)

;

ctg α (cos α−1) =

∙ (−sin α) = −cos

sin

α

1+cos

α

sin

α

+(1+cos

)

α

6)

+

=

1+cos

α

sin

α

sin

α

(1+cos

)

=

sin

+1+2cos

+cos

=α

sin

(1+cos

)

2

α

α

2+2cos

2(1+cos )

=

sin

α

(1+cos )

=

sin (1+cos )

=

sin

α

α

α

α

tg α −sin α =

− sin

α = sin α

− 1 =

= sin α (1+tg

α −1) = tg α∙sin α .

Задания для самостоятельного решения:

Преобразуйте выражение:

2)

1 −sin

− cos α; 4)sinα∙ctg α;

1)

3) tg α ∙ctg α −1;

5)

+tg α;

+

;

6)

.

Тема 2.3

Формулы приведения

Тригонометрические

функции углов вида

с

,2

функции угла

могут быть выражены через

, ,

помощью формул, которые называют формулами

приведения:

1)

-угол I четверти,

−

- угол II

четверти( −, где) = −

;

2

0;

- угол I четверти,

−

угол I

четверти) (

,−где) =

название;

меняется;

3)

где

0;

;

- угол I четверти,

−

угол III

;

название меняется;

четверти, −

= с

270˚−

угол III(270°− ) = −

ɑ; -угол I четверти,

4)

0

четверти, где

, название сохраняется;

5)

> 0

.< -0угол I четверти,

угол I

четверти(2,

где

) = −

, название сохраняется.

2

+

+

1)

8

=

2

+

2

=

2

=

−

3

3

3

1

3

= −

3

= −

2

.

585° =

(−585°) = −

= −

(360°+225°) =

= − 225° = −

(180°+45°)

√2

= −(−

45°) =

45° =

2

.

а)

(

+ );

б)

(

− );

в) ( + );

г)

(2 + );

д)

( + );

е)

( + ).

2)

Приведите к тригонометрической функции угла от

0˚ до 90˚:

б)

(−178˚); .

а)

120˚;

в)

680˚;

г)

(−1000˚)

3)

Найдите:

б)

(−150˚);

а)

120˚;

в) g (−225˚);

г) с

(−225˚);

4)

Упростите выражение:

)+

(270˚+

)+

а) sin (90˚−

) + cos(180˚+

+

(360°−

);

5

б)

+ − (

− ) + ( −

)+

−

2

5)

2

Преобразуйте выражение:

(180˚+

)

а)

(−

) с

;

(−

)

(90˚+

)

б)

(

+

)

(2

−

)

.

6)

Докажите, что:

(

−2)

(

−

)

(

−

)

(3

+

)

а)

.

32

)

=

;

(

+

)

( 2 +

(

−

)

(

2

−

)

(2

−

)

б)

( + )

.

(

2

+ )

.

(− )

=

.