Методическое пособие 428

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

В.В. Горбунов О.А. Соколова

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2013

УДК 517.2

Горбунов В.В. Курс лекций по линейной алгебре и аналитической геометрии : учеб. пособие [Электронный ресурс]. – Электрон. текстовые, граф. данные (2,351 Мб) / В.В. Горбунов, О.А. Соколова.– Воронеж : ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2013. – 1 электрон.опт. диск (СD-ROM).

– Систем.требования: ПК 500 и выше ; 256 Мб ОЗУ ; WindowsXP ; MS Word 2007 или более поздняя версия ; 1024х768; CD-ROM ; мышь. – Загл. с экрана. –Диск и сопровод. материал помещены в контейнер 12х14 см.

В учебном пособии излагаются элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. Теоретический материал сопровождается большим количеством примеров, а также вопросами для самопроверки.

Издание соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлениям 150700.62 «Машиностроение» и 151900.62 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» , дисциплине «Математика».

Ил. 21. Библиогр.: 6 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математики ВУНЦ ВВС «Военновоздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)

(зав. кафедрой д-р физ.мат. наук, проф. А.И. Сумин); канд. физ.-мат. наук, доц. В.И. Кузнецова

Горбунов В.В., Соколова О.А., 2013

Оформление. ФГБОУ ВПО

«Воронежский государственный технический университет», 2013

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие посвящено изучению следующих разделов высшей математики: матрицы, определители и системы линейных алгебраических уравнений, векторная алгебра, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, кривые второго порядка.

Пособие имеет следующую структуру. В начале каждого параграфа приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, уравнения, формулы, правила, признаки, методы). Затем следуют вопросы для самопроверки и примеры решения типовых задач различной степени трудности.

Пособие рекомендовано студентам бакалаврам, обучающимся по направлениям 150700.62 «Машиностроение» и 151900.62 «Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств» в помощь к изучению курса высшей математики.

3

Единичными матрицами называются диагональные матрицы, у которых все элементы главной диагонали равны единице:

1.2. Линейные операции над матрицами

Простейшей операцией над матрицами является операция сравнения матриц: матрицы A и B одинакового размера m n называются равными, если попарно равны их соответствующие элементы aij bij .

1.2.1. Сумма матриц

Суммой матриц А и В одинакового размера называется матрица С того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц А и В, т.е.

cij aij bij ; i =1, 2, …, m, j =1, 2, …, n.

Свойства операции суммирования матриц

1. А+В=В+А.

2. (А+В)+С=А+(В+С).

3. А+О=А, где О – нулевая матрица.

Пример 1.1. Пусть даны матрицы А и В:

Тогда их суммой, согласно определению, является матрица

5

1.2.2. Умножение матрицы на действительное число

одинаковый размер, а и - некоторые вещественные числа.

2.( )А А А.

3.А А .

4.ОА=О, где О – нулевая матрица.

Пример 1.2. Пусть даны матрица А и число :

1.2.3. Транспонирование матриц

Транспонированием матрицы называется замена строк матрицы на ее столбцы с сохранением их порядка, т.е. для матрицы

А= aij транспонированная матрица равна АТ = a ji

Свойства операции транспонирования матриц:

1. Дважды транспонированная матрица равна исходной матрице:

6

( АТ )Т А .

2. Элементы главной диагонали квадратной матрицы не меняется при транспонировании.

Пример 1.3. Пусть даны матицы А и В

Тогда соответствующие транспонированные матрицы имеют

вид

1.3. Умножение матриц

Операция произведения матриц АВ требует равенство числа столбцов матрицы А числу строк матрицы B , т.е. матрица А имеет размер m k , а матрица B имеет размер k n . При соблюдении этого условия произведением матриц АВ называется третья матрица С порядка m n , составленная по следующему правилу: элемент ckl , стоящий в матрице С на пересечении k-й

строки с l-м столбцом, есть сумма произведений элементов k строки матрицы А на соответствующие элементы l-го столбца матрицы В:

Матрица С = АВ будет иметь m строк и n столбцов, ее элементы вычисляются по формуле (1.2).

Пример 1.4. Найти произведения АВ и ВА матриц

7

Решение. По формуле (1.2) получаем элементы матрицы АВ:

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B , поэтому можно умножать матрицу А на матрицу B . По формуле (1.2) находим:

23 36

Следовательно: АВ = .

39 21

Свойства произведения матриц:

1.АВ ВА, где - действительное число,

2.(АВ)С = А(ВС).

3.(А + В)С = АС + ВС.

4.А(В + С) = АВ + АС.

5.(АВ) = ( А)В = А( В).

В алгебре квадратных матриц единичная матрица E играет роль единицы, т.е.

6.АЕ = А.

7.ЕА = А.

Иными словами, произведение любой матрицы на единичную матрицу, если оно имеет смысл, не меняет исходную матрицу.

Вопросы для самопроверки

1.Что называется матрицей? Как определяются линейные операции над матрицами и каковы их свойства?

2.Что называется произведением двух матриц? Каковы свойства произведения матриц?

3.Можно ли матрицу размера 3 4 возвести в квадрат?

2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

2.1.Операции над определителями

Любой квадратной матрице А порядка n ставится в соответствие по определенному закону некоторое число, называемое определителем или детерминантом n-го порядка этой матрицы. Порядок определителя равен порядку соответствующей матрицы.

Для матрицы второго порядка

9