Методическое пособие 428

i

j

k

.

(4.16)

[ a

b ]

x1

y1

z1

x2

y2

z2

Следствие: если два вектора

a

{ x1, y1, z1} и

b { x2 , y2 , z2 }

коллинеарны, то координаты их пропорциональны, то есть

x1

y1

z1

x2

y2

z2 .

Три вектора называются

упорядоченной тройкой

векторов

Тройка некомпланарных векторов

a b c называется правой,

если третий вектор c направлен в

сторону вектора [ a

b ]

Пример 4.5. Упростить выражение[(3a

2b)

(2a

5b)].

Решение. Пользуясь формулой и свойствами векторного

произведения получаем:

(3a

2b)

(2a

5b )

3a

2a

3a

5b

( 2b )

2a

( 2b) 5b

6 a

a

15 a

b 4 b a 10 b b

.

b

15 a

b 4 a

b 19 a

.

Пример 4.6. Вычислить площадь треугольника с вершинами

A(-1,0,2), B(1,-2,5), C(3,0,-4).

Решение.

AB и

Находим сначала координаты векторов a

4,0, 6 .

b

AC : a 2, 2,3 ,

b

40

b

определяем по

Координаты векторного произведения a

формуле:

i

j

k

2

3

2 3

2

2

a b

2

2

3

,

12,24,8 .

0

6

4 6

,

4

0

4 0 6

1

1

1

S

a

b

122 242 82

784

14 кв.ед. .

2

2

2

4.10. Смешанное произведение трех векторов

Смешанным произведением ([ a b ], c )

векторов a ,

b ,

c

называется

скалярное

произведение

векторного произведения

[ a

b ] и вектора c .

векторов: для векторов

{ x1, y1, z1},

{ x2 , y2 , z2 } ,

a

b

c

{ x3 , y3 , z3} смешанное произведение ([ a

b ], c ) равняется

1

6 0

6 ( 2)

0 5

1

6

8

5

V

3 0

3 ( 2)

6 5

3

1

1

1

6

6

2 0

1 ( 2)

3 5

2

1

2

1

8

3

1

30

3

30

0

1

0

.

5

1

6

6

5

1

1

Объем тетраэдра равен модулю смешанного произведения

векторов, т.е. V

1

( 30 15)

45

15

.

1

6

6

2

Определим площадь S грани :

1

S

a

b

, где a

AD 2,1, 2 ;

b AB 6,8, 5 .

2

1

2

2 2

2

1

Поскольку a

b

8

5

,

6

5

,

6

8

11,

- 2, 10 ,

1

1

1

15

то S

a b

112 ( 2)2

102

255

.

2

2

2

2

1

Искомую величину h определим из формулы V

Sh , где S –

3

площадь

основания.

Подставляя

в

формулу

V

1

Sh

значения

3

V

15

и

S

15

, получим h=3.

2

2

Для

плоскости,

содержащей

выделенную

точку

M o xo , yo , zo

, и расположенной перпендикулярно

вектору

нормали N A; B;C , уравнение плоскости

А(х – х0) + В(у –у0) +С(z – z0) = 0 .

(5.1)

44

отражает

факт

неизменной

перпендикулярности векторов

N A; B;C и

M o M x xo ; y yo ; z zo при

любом

расположении точки M x, y, z плоскости.

После преобразования получаем уравнением плоскости

общего вида

Ах + Ву + Сz + D = 0

(5.2)

Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Уравнение (5.2) – полное уравнение. Если один из

коэффициентов равен нулю, то получим неполное уравнение.

Например, уравнение Ах +Ву + D = 0 определяет плоскость,

параллельную оси Оz, вектор

A; B;0 ,

n

n Oz (перпендикулярную плоскости Oxy ).

5.2. Уравнение плоскости в нормальном виде

Для плоскости, проходящей через точку Qо(хо,уо,zо),

перпендикулярно радиус-вектору OQо

A; B;C , введем текущую

точку Q(х,у,z). По вектору нормали OQо

A; B;C построим орт,

вектор

единичной

длины

A

B

C

n

;

;

A

B

C

A

B

C

A

B

C

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos ,cos ,cos ,

где , , - углы,

образуемые вектором

n с

положительным направлением осей х, у, z.

z

OQo

n

Q

y

O

Проекция любого радиус-вектора OQ x; y; z

на вектор n ,

есть величина постоянная, равная

-

расстоянию

от начала

координат до плоскости

прn (OQ)

или (OQ n)

(5.3)

Переписав векторное уравнение

плоскости

(5.3) в

x cos y cos z cos 0 ,

( 0)

(5.4)

Уравнение плоскости общего вида (5.2) можно привести к

нормальному виду, умножив его на число

t = 1/

А2 В2 С2 ,

где знак берется противоположным знаку

D . Тем самым , вектор

d

Axo

Byo

Czo

D

.

(5.5)

A2 B2 C2

x

y

z

1

или

x

y

z

1

(5.6)

D

D

D

a

b

c

A

B

C

Эта

плоскость

пересекает

ось Ox в

точке ( a ,0,0), Oy

– в

точки

M1 (х1, у1, z1), M 2 (х2, у2, z2),

M 3 (х3,

у3, z3), не лежащие на

одной

прямой. Уравнение

плоскости получается из

условия

компланарности трех векторов M1M = x x1; y y1; z z1 ,

M1M 2 = x2 x1; y2 y1 ; z2 z1 , M1M 3 = x3 x1; y3 y1 ; z3 z1 ,

записанного в координатном представлении,

x x1

y y1

z z1

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 .

(5.7)

x3 x1

y3 y1

z3 z1

Пусть две плоскости

заданы

общими уравнениями

A1 x B1 y C1 z D1 0

и

A2 x B2 y C2 z D2 0 .

A1 ; B1 ;C1 ;

между

нормальными

векторами

N1

A2 ; B2 ;C2 по формуле (4.14)

N2

cos

A1 A2 B1B2 C1C2

(5.8)

A2

B 2

C 2

A2

B 2

C 2

1

1

1

2

2

2

A1

B1

C1

(5.9)

A2

B2

C2

Условие перпендикулярности плоскостей вытекает из

равенства нулю скалярного произведения

А1 A2 B1B2 C1C2

0 .

(5.10)

Пример 5.1.

Составить

уравнение

плоскости,

проходящей

через точку M 2;3;1 перпендикулярно вектору

n 4; 5;7 .

Решение. Применяя формулу (5.1), для плоскости,

проходящей

через

заданную

точку,

получаем

4(x 2) 5( y 3) 7(z 1) 0 .

Раскрывая

скобки

и

приводя

подобные

слагаемые,

получаем

искомое

уравнение

плоскости

4x 5y 7z 0 .

Пример

5.2.

Дан

тетраэдр

с

вершинами

A 2; 1;3 ,

B 1; 3;5 , C 6;2;5 , D 3; 2; 5 . Найти длину высоты,

опущенной из вершины D на грань ABC .

Решение. Искомая высота равна расстоянию от точки

D до

плоскости, проходящей через точки

A, B,C.

Составим уравнение

этой плоскости:

x 2

y 1

z 3

x 2

y 1

z 3

1 2

3 1

5 3

0,

1

2

2

0 .

6 2

2 1

5 3

4

3