Методическое пособие 428

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Получаем параметрические уравнения прямой:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

6. Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей?

6.ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

6.1.Общие и канонические уравнения прямой в пространстве

Прямую линию, являющуюся пересечением двух различных

плоскостей, определяемых	уравнениями	A1x B1 y C1z 0 и
A2 x B2 y C2 z 0 , можно	задавать с	помощью системы двух

уравнений этих плоскостей, называемых общими уравнениями прямой в пространстве

A x B y C z 0			.	(6.1)
1	1	1
A2 x B2 y C2 z 0

Однако, более удобными для решения задач является

канонические уравнения прямой в пространстве.

	Для их определения		введем				точку	M1 (х1, у1,z1),
принадлежащую прямой, и направляющий вектор
								q l; m; n . Для
любой (текущей) точки прямой					M (х,	у, z) будет выполняться
условие коллинеарности векторов					M1M = x x1; y y1; z z1 и
	l; m; n :
q
		x x1		y y1			z z1	(6.2)
		l					n
					m
-	канонические уравнения прямой в пространстве.
	Прямую, заданную общими уравнениями можно привести к

каноническому виду. Для этого необходимо найти координаты точки M1 (x1 , y1 , z1 ) , лежащей на прямой, и координаты направляющего вектора этой прямой. Положим z1 0 и найдем координаты x1 и y1 , решая систему уравнений

A1x B1 y D1 .

A2 x B2 y D2

	Для нахождения координат l, m, n вектора
	Для нахождения координат l, m, n вектора									q , заметим, что q
ортогонален каждому			из		нормальных			векторов			плоскостей

N1	A1 ; B1 ;C1 ; N2	A2 ; B2 ;C2 . Так что можно положить q =

[n1	n2 ]

						i	j	k

	q		[n1	n2	]	A1	B1	C1	;
						A2	B2	C2

l = B1C2 – B2C1; m = C1A2 – C2A1; n = A1B2 – A2B1.

Пример 6.1. Привести общие уравнения прямой

x 2 y 3z 0

к каноническому виду.

3x 2 y

5z 4 0

Решение. Найдем координаты точки M1 x1 , y1 , z1 , через

которую проходит прямая. Положим z1 0 , тогда

x1 2 y1 0

2 y1 4

, отсюда

y1 1 .

3x1

Найдем координаты направляющего вектора прямой:

i (10 6) j ( 5 9) k (2 6) 4i

14 j

8k .

Канонические уравнения прямой имеют вид

x 2

y 1

или

x 2

y 1

6.2. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Уравнения прямой, проходящей через две различные точки М1(х1, y1, z1) и М2(х2, y2, z2) могут быть получены из канонических

уравнений, если в качестве направляющего вектора взять вектор

М1М 2 = x2 x1; y2 y1; z2 z1 :

	x x1					y y1				z z1				,	(6.3)

	x	x			y		2	y		z	2	z
2		1						1				1
Пример 6.2. Составить канонические уравнения прямой,
проходящей через две заданные точки M1 (1,-2,1) и M 2 (3,1,-1)
Решение. Применяя формулу (6.3), имеем
			x 1					y 2			z 1

			3 1								1 1
								1 2
												.
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
				х 1					у 2		z 1		.

		2						3				2

6.3.Параметрические уравнения прямой

впространстве

Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений (6.2).

Приравняем параметру t каждую из дробей из соотношений

(6.2),

	x lt x1 ,
			,
	y mt y1		,	(6.4)
	z nt z .
		1
Пример 6.3. Составить параметрические уравнения прямой
3x 4 y 5z 10 0,
	0.
6x 5y z 17	0.

Решение. Найдем координаты точки M1 x1 , y1 , z1 , лежащей на прямой. Положим z1 0 .Тогда система уравнений примет вид

где

3x1 4 y1 10.

6x1 5y1 17

Решая эту систему, получим x1 2; y1 1 . Следовательно, на прямой фиксирована точка M1 2; 1;0 . Найдем координаты направляющего вектора прямой



	i	j	k
	3	4	5				21;27;9 .
q	3	4	5	21i	27 j	9k ; q	21;27;9 .
	6	5	1

Тогда параметрические уравнения прямой примут вид x 2 21t; y 1 27t; z 9t.

6.4.Угол между прямыми в пространстве. Условие параллельности и перпендикулярности прямых.

Расстояние от точки до прямой

Определение угла между прямыми сводится к определению

l1; m1; n1 и

угла между их направляющими векторами q1

l2 ; m2 ; n2 по формуле (4.14:)

cos

l1l2

m1m2 n1n2

(6.5)

l 2

- угол между прямыми в пространстве.

Условие параллельности прямых эквивалентно условию

коллинеарности их направляющих векторов q1 и q2 :

l1 m1 n1 l2 m2 n2 .

Условие перпендикулярности прямых записывается как

условие перпендикулярности направляющих векторов q1 и q2 : l1l2 + m1m2 +n1n2 = 0

(6.6)

(6.7)

	Пример 6.4 . Найти угол между прямой					x 3			y 4			z 5		и
	Пример 6.4 . Найти угол между прямой													и
							2			1	3
прямой, проходящей через две точки A 2, 3,1 ; B 1,1,1 .
	Решение. Координаты направляющего вектора первой прямой
	2; 1;3 . Для второй прямой направляющим является вектор
q	2; 1;3 . Для второй прямой направляющим является вектор

AB 3;4;0 . Угол между направляющими векторами вычислим,
используя формулу (6.5),
	cos	2 3 1 4 3 0					10				2		;
	cos												;
		2 2 1 2 32 32 42 02				14		25 5			14
				2
		arccos			.
		arccos			.
				14
			5	14

x x1 lt,

Расстояние от точки M 0 x0 ; y0 ; z0 до прямой y y1 m t,

z z1 nt

вычисляется по формуле

		y y		z z		2		x x				z z		2	x x		y y		2
		y y		z z		2		x x				z z		2	x x		y y		2
		1	0	1	0			1			0	1	0		1	0	1	0
d		m1		n1					l1			n1			l1		m1			. (6.8)


									l 2	m		2 n 2
									l 2	m		2 n 2
							1				1	1
Пример 6.5. Найти расстояние от точки M 0 1; 2;3 до прямой
x 9 2t,
	4t,
y 4	4t,
	4t.
z 7	4t.

Решение. Воспользуемся формулой (6.8). Так как

x0 1, y0 2, z0 3, x1 9, y1 4, z1 7,l1 2, m1 4, n1 4, то

		4 ( 2)			7 3	2		9 1		7 3		2	9 1	4 ( 2)	2
		4 ( 2)			7 3	2		9 1		7 3		2	9 1	4 ( 2)	2
				4	4				2		4		2	4
d				4	4				2		4		2	4


							( 2)2 ( 4)2 42
							( 2)2 ( 4)2 42

	402		402		( 20)2
	402		402		( 20)2				3600		10.

				4 16	16				36
				4 16	16				36

Итак, расстояние равно 10.

6.5. Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости

Две прямые в пространстве могут: пересекаться; быть

параллельными; скрещиваться. В первых двух случаях прямые лежат в одной плоскости.

Пусть прямые L1

и L2 заданы каноническими уравнениями:

x x1

y y1

z z1

;

x x2

y y2

z z2

Для принадлежности двух прямых к одной плоскости

необходимо и достаточно, чтобы три вектора

z1 , ( M1 и M 2

М1М 2 x2

x1; y2 y1; z2

точки на прямых L1 и

L2 ), q1 l1; m1; n1 ; q l2 ; m2 ; n2 были компланарны, т.е.

смешанное произведение этих векторов равно нулю.

x2 x1

y2 y1

z2 z1

(6.9)

M1M 2 , q1

- условие принадлежности двух прямых одной плоскости.

Пример 6.5. Доказать, что прямые

x 2t 3	x t 5
			1 пересекаются.
y 3t 2 и	y 4t		1 пересекаются.
		z t 4
z 4t 6		z t 4

Решение. Применим формулу (6.9).

5 3	1 2	4 6
5 3	1 2	4 6
2	3	4	8(3 16) (2 4) 10( 8 3)
1	4	1

=-104 – 6 + 110 = 0.

Таким образом, прямые лежат в одной плоскости и пересекаются, поскольку непараллельны.

6.6. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости

Угол между прямой L (	х х1	y y1	z z1	) и плоскость
	l	m	n

( Ax By Cz D 0 ) является дополнительным к углу

				A; B;C и направляющим
между вектором нормали плоскости n				A; B;C и направляющим
	l; m; n; , поэтому
вектором прямой q	l; m; n; , поэтому
sin cos(	)		Al Bm Cn			(6.10)


2		A2 B2 C 2			l 2 m2 n2 .
		L

	n

			q

Рис. 11

Условие параллельности прямой и плоскости эквивалентно условию перпендикулярности направляющего вектора прямой и

нормального вектора плоскости
Аl +Bm +Cn = 0	(6.11)

Условие перпендикулярности прямой и плоскости

эквивалентно условию параллельности n и q

(6.12)

n .

Пример 6.6. При каком значении l и m прямая

x 2

y 1

z 3

и плоскость

5x 3y z 4 0

перпендикулярны?

Решение. Воспользуемся условием перпендикулярности

прямой и плоскости . Тогда

. Получаем l 10; m 6.

Пример 6.7. При каком значении n прямая

x 2 5t;

2t;

y 3

z 5

параллельна плоскости 2x 4y 6z 7 0 .

Решение. Используем условие параллельности прямой и

плоскости (6.10). Подставляя соответствующие значения в это

уравнение, получим 2 5 4 2 ( 6) n 0

или 18 6n 0, откуда

n 3.

6.7. Пересечение прямой и плоскости

Координаты точки пересечения прямой

x x1 ty y1 mtz z1 nt

и плоскости Ax+By+Cz+D=0 определяются из системы уравнений

Ax By Cz D 0
		t
x x1		t
y y		m t
	1
z z		nt	.	(6.13)
	1

Пример 6.8. Найти точку пересечения плоскости

x 6 2t; 3x 4y 5z 16 0 и прямой y 7 t;

z 8 3t.

Решение. Решим совместно систему уравнений прямой и плоскости. Подставим выражение для x; y; z в уравнение плоскости

3( 6 2t) 4(7 t) 5(8 3t) 16 0.

После упрощения получим 5t 10 0, откуда t 2. Из уравнения прямой при t 2 находим координаты точки пересечения x 2; y 5; z 2.Таким образом, искомой точкой пересечения является точка N( 2;5;2).

Вопросы для самопроверки

1.Как записывается общее уравнение прямой в пространстве?

2.Как записываются параметрические уравнения прямой в пространстве?

3.Как записываются уравнения прямой, проходящей через две точки в пространстве?

4.Как вычисляются углы между двумя прямыми в пространстве, между плоскостью и прямой?

5.Каковы условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве, прямой и плоскости?

7.ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

7.1.Общее уравнение прямой. Уравнение прямой

вотрезках. Нормальное уравнение прямой

Рассмотрим		прямую L в декартовой прямоугольной системе
координат	Oxy .	Прямая L	содержит		точку M o xo , yo		и

нормальный	вектор n = A; B .		Уравнение		прямой,	содержащей

точку M o ,	и перпендикулярной вектору			n ,	получается из условия
точку M o ,				n ,	получается из условия

перпендикулярности векторов n и М о М x xo , y yo
		A(x xo ) B( y yo ) 0 .				(7.1)
		y

			n A; B
				x
		0

Рис. 12

Упрощая уравнение (7.1), получаем уравнение прямой общего

вида
Ax By C 0 ,.	(7.2)

где вектор = A; B является нормальным вектором прямой. n

Если хотя бы один из коэффициентов A, B,C уравнения (7.2) равен нулю, то уравнение называется неполным. Например, прямая Ax By 0 проходит через начало координат, прямая Ax C 0 параллельна оси Oy .

Полное уравнение прямой может быть приведено к уравнению

прямой в отрезках:
	х	у	1 ,	(7.3)
	a	b	1 ,	(7.3)
	a	b
			59

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.3 Mб3Методическое пособие 423.pdf
#
30.04.20221.31 Mб5Методическое пособие 424.pdf
#
30.04.20221.31 Mб2Методическое пособие 425.pdf
#
30.04.20221.32 Mб3Методическое пособие 426.pdf
#
30.04.20221.32 Mб3Методическое пособие 427.pdf
#
30.04.20221.32 Mб2Методическое пособие 428.pdf
#
30.04.20221.35 Mб8Методическое пособие 429.pdf
#
30.04.2022147.97 Кб4Методическое пособие 43.doc
#
30.04.2022301.57 Кб4Методическое пособие 43.pdf
#
30.04.20221.36 Mб3Методическое пособие 430.pdf
#
30.04.20221.36 Mб22Методическое пособие 431.pdf