Методическое пособие 322

Постройте график данного импульса. Определите максимальное значение сигнала umax, а также момент времени достижения максимума tmax. Вычислите длительность импульса τи, определив ее как длину отрезка времени от нуля до той точки, в которой мгновенное значение сигнала уменьшается в 10 раз по сравнению с максимальным значением.

7. Математическая модель импульсного сигнала задана выражением:

( ) = 0 − ( ).

Вычислите и постройте график данного сигнала в зависимости от безразмерного аргумента αt. Определите длительность импульса τи, приняв в качестве критерия окончания импульса спад мгновенных значений до уровня 0,1 от максимального значения.

8. Осциллограмма сигнала s(t) приведена на рис. 6. Запишите математическую модель данного сигнала, применив функции Хевисайда.

Рис. 6. Осциллограмма сигнала для задания № 8

9. Сигнал s(t) имеет математическую модель вида:

0, < 0

( ) = { 0( ⁄ 0), 0 ≤ ≤ 0.0, > 0

19

Представьте данную зависимость в виде суммы кусочнолинейных функций.

10. Используя функции Хевисайда, найдите динамическое представление колебания s(t), описывающего переход некоторой физической системы от нулевого уровня к постоянному уровню B. Данный переход происходит за интервал времени T по линейному закону:

0, < 0( ) = { ( ⁄ ), 0 ≤ ≤ .

, >

11.Экспоненциальный видеоимпульс напряжения x(t) = 25exp(−106t)σ(t),

В, действует на входе цепи, достаточно инерционной для того, чтобы можно было приближенно представить данный сигнал в виде s(t) = Aδ(t). Определите числовое значение коэффициента

A.

12.Понятие сигнала, который строго ограничен полосой частот, нереализуемо. Докажите это, показав, что сигнал со строго ограниченной полосой должен иметь бесконечную длительность.

13.На рис. 7 показана двусторонняя спектральная плотность мощности, Gx(f) = 10-6f 2 сигнала x(t).

Рис. 7. Двусторонняя спектральная плотность мощности сигнала для задания № 13

20

а) Найдите нормированную среднюю мощность сигнала x(t) в диапазоне частот от 0 до 10 кГц.

б) Найдите нормированную среднюю мощность сигнала x(t) в диапазоне частот от 5 до 6 кГц.

14. Вычислить дискретную АКФ трехпозиционного сигнала с одинаковыми значениями на каждой позиции:

и= {1, 1, 1).

15.Вычислить дискретную АКФ трехпозиционного сиг-

нала с одинаковыми значениями на каждой позиции:

и= {1, –1, 1).

16.Вычислите автокорреляционные функции следующих пятипозиционных дискретных сигналов: а) s1 = (1, 1, 1, –1,

1), б) ) s2 = (1, 1, –1, –1, 1)

17.Вычислите значения функции взаимной корреляции для трехпозиционных дискретных сигналов u = (1, 1, –1) и v = (–1, 1, 1).

18.Вычислите значения функции взаимной корреляции для дух четырехпозиционных сигналов Баркера u = (1, 1, 1, –1)

иv = (1, 1, –1, 1).

19.Для спектра

( ) = 10−4 [sin ( − 106)10−4]2,( − 106)10−4

определите ширину полосы сигнала, используя следующие определения ширины полосы:

а) ширина полосы половинной мощности; б) ширина полосы шумового эквивалента; в) ширина полосы по первым нулям; г) полоса по уровню 35 дБ; д) абсолютная ширина полосы.

21

Контрольные вопросы

1.Какие преимущества и недостатки цифровых сигналов по сравнению с аналоговыми?

2.В чем отличие динамического представления сигналов с помощью функций Хевисайда и Дирака?

3.Назовите мощностные и энергетические характеристики сигналов.

4.Как график автокорреляционной функции сигнала характеризует занятость полосы сигнала?

5.Каков физический смысл спектральной плотности си-

нала?

22

Практическое занятие № 3 Основные преобразования цифровой связи

Z-преобразование

Цель практического занятия: освоить основные методы Z-преобразований.

Теоретические сведения

Z-преобразование является одним из математических методов, разработанных для анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразование Лапласа для непрерывных систем.

Z-преобразованием функции f(t) называется функция [1,6-

8]:

где T – период квантования, k = 0, 1, 2, ….

Неудобство этого выражения состоит в том, что оно является бесконечным рядом, а не эквивалентной функцией в компактной форме. Альтернативное выражение для z-преобра- зования функции [6-8]:

комплексная переменная.

В общем случае обратное z-преобразование может быть определено одним из следующих трех методов.

23

1. Метод разложения на простые дроби [1,6-8]. Этот метод при небольшой модификации соответствует методу разложения на простые дроби в преобразовании Лапласа.

Для функций, которые не содержат нулей (z = 0), соответствующая последовательность импульсов имеет временной сдвиг. Разложение функции F(z) на простые дроби представляются в обычном виде, т.е.

где a, b и c – отрицательные полюсы F(s) (здесь предполагается случай простых полюсов); А, В и С — вычеты F(s) в этих полюсах.

После чего находим:

Если найдено обратное z-преобразование функции F1(z), f1(kТ), то обратное z-преобразование функции F(z) определяется следующим образом:

f kT 1 F z 1 z 1F1 z f1 k 1 T ,

где – оператор преобразования.

2. Метод разложения в степенной ряд [1,6-8]. Обратное z-преобразование функции F(z) может быть определено разложением ее в бесконечный ряд по степеням z–1:

3. Метод, основанный на использовании формулы обра-

щения [1,6-8]:

24

где L – замкнутый контур (обычно окружность) на z-плоскости,

Задания

1.Найти z-преобразование единичной ступенчатой

функции.

2.Получите формулу z-преобразования X(z) дискретной ступенчатой функции {xk}, общий член которой задан выражением

3.Найдите z-преобразование X(z) дискретного сигнала {xk}, имеющего общий член xn = n.

4.Получите формулу z-преобразования X(z) дискретного сигнала {xk} с общим членом xn = n/n! при n≥0.

5.Найдите дискретный сигнал {xn}, которому отвечает преобразование

6. Вычислите седьмой x6 член дискретной последовательности {xn}, z-преобразование которой

25

8. Задано z-преобразование

Найдите общий член xn последовательности {xn}.

9. Найдите дискретный сигнал {xn}, z-преобразова- ние которого

X(z) = z–2.

9.Вычислите z-преобразование свертки {fn} дискретных сигналов {xn} = (1,1,1,0,0,…) и {yn} = (0,0,1,1,0,0,…).

10.Дано z-преобразование

где а - положительное постоянное число; Т - период квантования. Используя метод разложения на простые дроби, найти обратное z-преобразование F(z), f(kT).

11. Определить обратное z-преобразование функции

F z 1 e aT z

z 2 1 e aT z e aT

методом разложения в степенной ряд.

Контрольные вопросы

1.Для чего применяется аппарат Z-преобразования при обработке сигнала?

2.Какие методы получения обратного Z-преобразования вы

знаете?

3.Перечислите основные свойства Z-преобразования.

26

Практическое занятие № 4 Обработка сигналов в цифровой связи

Цель практического занятия: изучить основные этапы обработки сигналов в цифровых системах связи.

Теоретические сведения

Основные функции обработки сигналов в цифровых системах связи можно рассматривать как преобразования сигналов, разбитые на девять групп [1,8]:

1.Форматирование и кодирование источника

2.Передача видеосигналов

3.Передача полосовых сигналов

4.Выравнивание

5.Канальное кодирование

6.Уплотнение и множественный доступ

7.Расширение спектра

8.Шифрование

9.Синхронизация

Аналоговый сигнал и его дискретная версия связаны процессом, который называется дискретизацией (sampling process). Этот процесс можно реализовывать по-разному, а наиболее популярной является операция выборки-хранения (sample-and-hold). В этом случае коммутирующе-запоминаю- щий механизм (такой, как последовательность транзистора и конденсатора или затвора и диафильма) формирует из поступающего непрерывного сигнала последовательность выборок (sample). Результатом процесса дискретизации является сигнал в амплитудно-импульсной модуляции (pulse-amplitude modulation – РАМ). Такое название возникло потому, что выходящий сигнал можно описать как последовательность импульсов с амплитудами, определяемыми выборками входного сигнала. Аналоговый сигнал можно восстановить (с определенной

27

степенью точности) из РАМ-модулированного сигнала, пропустив последний через фильтр нижних частот. Теорема о выборках (sampling theorem) (теорема Котельникова [1,3,4,6-8]) формулируется следующим образом: сигнал с ограниченной полосой, не имеющий спектральных компонентов с частотами, которые превышают fm Гц, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени

Это утверждение также известно как теорема о равномерном дискретном представлении (uniform sampling theorem). При другой формулировке верхний предел Ts можно выразить через частоту дискретизации (sampling rate), fs = l/ Ts. В этом случае получаем ограничение, именуемое критерием Найквиста

(Nyquist criterion) [1,3,4,6-8]:

fs ≥ 2fm

Частота дискретизации fs = 2fm также называется частотой Найквиста (Nyquist rate). Критерий Найквиста – это теоретическое достаточное условие, которое делает возможным полное восстановление аналогового сигнала из последовательности равномерно распределенных дискретных выборок.

Импульсно-кодовая модуляция (puise-code modulation – PCM) – это название, данное классу низкочастотных сигналов, полученных из сигналов РАМ путем кодирования каждой квантованной выборки цифровым словом. Исходная информация дискретизируется и квантуется в один из L уровней; после этого каждая квантованная выборка проходит цифровое кодирование для превращения в l-битовое (l = log2L) кодовое слово.

Если шаг квантования постоянен, квантование является

равномерным (квантованием с постоянным шагом) (рис. 8).

28