Методическое пособие 322

восьмибитовым двоичным словом. Вычислите объем информации, которая содержится в записи этого отрезка сигнала. Найдите избыточность описанного информационной преобразования.

14. Проводной телефонный канал связи способен равномерно пропускать колебания в интервале частот [0, 30] кГц; на более высоких частотах коэффициент передачи канала полагается равным нулю. В канале присутствует белый шум, такой, что отношение средней мощности полезного сигнала к средней мощности шума составляет 35 дБ. Вычислите пропускную способность C рассматриваемого канала.

Контрольные вопросы

1.Какие параметры сигналов называют информаци-

онными?

2.Запишите выражение для условной энтропии и поясните ее смысл.

3.Какова особенность определения энтропии непрерывного источника информации?

4.Какие распределения обладают максимальной дифференциальной энтропией:

а) при ограничении на диапазон изменения случайной величины?

б) при ограничении на дисперсию случайной величины?

5.Как связаны между собой понятия количества информации и энтропии?

6.Дайте определение дифференциальной энтропии и сформулируйте ее основные свойства.

7.Объясните смысл понятия пропускная способность

канала.

9

Практическое занятие № 2 Математические модели сигналов

Цель практического занятия: освоить методы динамического представления сигналов, изучить характеристики фильтрации и детектирования цифровых сигналов.

Теоретические сведения

При решении некоторых задач передачи сигналов, когда необходимо располагать информацией не только о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение «в прошлом» и «будущем». Реальный сигнал приближено можно представить суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе будет получено точное представление исходного сигнала. Такой способ представления сигналов называют «динамическим», подчеркивая этим развивающийся во времени характер процесса. Широкое применение нашли два способа динамического представления (рис. 2): в качестве элементарных функция используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени Δ, и прямоугольные импульсы, непосредственно примыкающие друг к другу.

Рис. 2. Динамическое представление сигналов

Для динамического представления по первому способу используется функция включения (Хевисайда) [1,2,8]:

10

Текущее значение сигнала при любом t приближенно

равно:

∞

( ) ≈ 0 ( ) + ∑( − −1) ( − ∆).

=1

Динамическое представление произвольного сигнала [1,2]:

∞( ) = 0 ( ) + ∫ ( − ) .

0

Для второго представления используется дельта-функ- ция (функция Дирака). Динамическое представление сигнала

[1, 2]

∞

( ) = ∫ ( ) ( − ) .

−∞

При решении многих теоретических и прикладных задач, когда возникают вопросы о характеристиках сигнала, об оценке сходства сигналов, применяются идеи функционального анализа. Сигнал представляется как вектор в специальным образом сконструированном бесконечномпространстве [1,3,4,6-8]:

( ) = ∑ ,

где {c1, c2, c3, …} – проекции сигнала s(t) относительно выбранного базиса {e1, e2, e3, …}.

11

Длину вектора называют нормой. Квадрат нормы носит название энергии сигнала [1,3,4,6-8].

∞

= ‖ ‖2 = ∫ 2( ) .

−∞

Именно такая энергия выделяется в резисторе с сопротивлением 1 Ом, если на его зажимах существует напряжение s(t).

Скалярное произведение вещественных сигналов u и v:

∞

( , ) = ∫ ( ) ( ) .

−∞

Неравенство Коши-Буняковского [1-8]:

|( , )| ≤ ‖ ‖ ∙ ‖ ‖.

Определенный сигнал можно отнести либо к энергетиче-

скому, либо к мощностному.

Обычно сигнал x(t) – это либо напряжение, либо сила тока. Рассеиваемая энергии в течение промежутка времени (- T/2. T/2) для реального сигнала может быть записана следую-

щим образом [1,3,4,6-8]:

= ∫−2 2 ( ) .

2

Средняя мощность, рассеиваемая сигналом в течение

этого интервала, равна [1,3,4]

2

= 1 = 1 ∫ 2 ( ) .

−2

12

Будем называть х(t) энергетическим сигналом тогда и только тогда, когда он в любой момент времени имеет ненулевую конечную энергию (0 < Еx < ∞), где

В реальной ситуации мы всегда передаем сигналы с конечной энергией (0 < Еx < ∞). Для описания периодических сигналов, которые по определению существуют всегда и, следовательно, имеют бесконечную энергию, и для работы со случайными сигналами, также имеющими неограниченную энергию, удобно определить класс мощностных сигналов [6-8]. Сигнал является мощностным только, если он в любой момент времени имеет ненулевую конечную мощность (0 < Px < ∞), где

2

= lim 1 ∫ 2 ( ).

→∞

−2

Общее правило: периодические и случайные сигналы выражаются через мощность, а сигналы, являющиеся детерминированными и непериодическими, – через энергию.

Спектральная плотность (spectral density) сигнала ха-

рактеризует распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот [1-8]. Особую важность это понятие приобретает при рассмотрении фильтрации в системах связи. При оценивании сигнала и шума используется спектральная плотность энергии (energy spectral density – ESD) или спектральная плот-

ность мощности (power spectral density – PSD).

Связь энергии действительного энергетического сигнала x(t), определенного в интервале (–∞,∞), выраженной во временной области, с энергией, выраженной в частотной

13

области [1,3,4,6-8]:

где X(f) – Фурье-образ непереодического сигнала x(t). Обозначим через ψx(f) прямоугольный амплитудный спектр, определенный как

( ) = |( )|2.

Величина ψx(f) является спектральной плотностью энергии (ESD) сигнала x(t). Общую энергию x(t) можно выразить путем интегрирования спектральной плотности по частоте:

∞

= ∫ ( ).

−∞

Данное уравнение показывает, что энергия сигнала равна площади под ψx(f) на графике в частотной области. Спектральная плотность энергии описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в Дж/Гц. Положительные и отрицательные частотные компоненты дают равные энергетические вклады, поэтому, для реального сигнала x(t), величина |Х(f)| представляет собой четную функцию частоты. Общую энергию

сигнала x(t) можно выразить следующим образом [1,3,4,6-8]:

∞

= 2 ∫ ( ).

где n – целое число, положительное, отрицательное или нуль.

14

Определение ширины полосы сигнала

Множество важных теорем из теории связи и информации опираются на предположение о том, что каналы имеют строго ограниченную полосу, это означает, что за пределами определенной полосы мощность сигнала равна нулю. Таким образом, мы сталкиваемся с дилеммой: сигналы со строго ограниченной полосой не могут быть реализованы, поскольку они подразумевают сигналы бесконечной длительности (обратное преобразование Фурье функции Сигналы с ограниченной длительностью легко реализуются. Но при этом они также непригодны, поскольку их Фурье-образы содержат энергию на относительно высоких частотах. Математическое описание реального сигнала не допускает, чтобы сигнал был строго ограничен по длительности и полосе. Значит, математические модели являются абстракциями; поэтому не удивительно, что до настоящего момента не существует единого определения ширины полосы.

Все критерии определения ширины полосы имеют одно общее свойство: они пытаются найти меру ширины, W, неотрицательной действительной спектральной плотности, определенной для всех частот | f | < ∞. На рис. 3 показаны некоторые наиболее распространенные определения ширины полосы (стоит отметить, что различные критерии не являются взаимозаменяемыми). Однополосная спектральная плотность мощности для отдельного гетеродинного импульса xc(t) имеет следующее аналитическое выра-

жение [1,3,4,6-8]:

( ) = [sin ( − с) ]2, ( − с)

где fc — частота несущей, а Т — длительность импульса. Эта спектральная плотность мощности (рис. 3) характеризует случайную последовательность импульсов; предполагается, что время, по которому производится усреднение, намного больше длительности импульса. График состоит из основного лепестка и меньших симметричных боковых лепестков. Общий вид гра-

15

фика справедлив для большинства форматов цифровых модуляций.

Рис. 3. Ширина полосы цифровых данных

Критерии определения ширины полосы [1,6-8]:

а) ширина полосы половинной мощности (рис. 3, а). Интервал между частотами, на которых Gx(f) падает до мощности, вдвое (или на 3 дБ) меньшей максимального значения.

б) ширина полосы прямоугольного эквивалента или шумового эквивалента (рис. 3, б), WN. Ширина полосы шумового эквивалента WN определяется отношением WN = Px/Gx(fc), где Px

– полная мощность сигнала по всем частотам, a Gx(fc) – максимальное значение G(f) (в центре полосы). WN – это ширина полосы воображаемого (идеально прямоугольного) фильтра, характеристика которого в центре полосы совпадает с характеристикой реальной системы, и который пропускает столько же белого шума, как и реальная система. Концепция WN облегчает описание или сравнение практических линейных систем при использовании идеализированных эквивалентов.

в) ширина полосы по первым нулям (рис. 3, в). Наиболее популярной мерой ширины полосы в цифровой связи является ширина основного спектрального лепестка, в котором, сосредоточена основная мощность сигнала. Этому критерию недостает

16

универсальности, поскольку в некоторых форматах модуляции отсутствуют явно выраженные лепестки.

г) полоса, вмещающая определенную часть суммарной мощности (рис. 3, г). Этот критерий ширины полосы был принят Федеральной комиссией по средствам связи США (Federal Communications Commission — FCC), и согласно ему полоса ограничивается так, что за ее пределами находится 1% мощности сигнала (0,5% выше верхней границы полосы и 0,5% ниже нижней границы). Таким образом, на определенную полосу приходится 99% мощности сигнала.

д) спектральная плотность мощности по уровню х дБ (рис.3, д). Еще один популярный метод определения ширины полосы – указать, что за пределами определенной полосы мощность G(f) должна снизиться до заданного уровня, меньшего максимального значения (в центре полосы). Типичными уровнями затухания являются 35 и 50 дБ.

е) абсолютная ширина полосы. Это интервал между частотами, вне которых спектр равен нулю. Весьма полезная абстракция. Впрочем, для всех реализуемых сигналов абсолютная ширина полосы равна бесконечности.

Задания

1.Сигнал s(t) представляет собой треугольный импульс напряжения с амплитудой U и длительностью τи. Вычислить энергию и норму такого сигнала.

2.Вычислить энергию и норму радиоимпульса с прямо-

угольной формой огибающей. Импульс существует на интер-

вале времени (0,τи) и описывается функцией s(t) = U0 cos(ωt + ).0

3. Определите, в каком представлении даны следующие сигналы: в энергетическом или мощностном. Найдите нормированную энергию и нормированную мощность каждого сигнала.

а) ( ) = cos 2 0 для – ∞ < t < ∞

17

имеет длительность 5 мкс и амплитуду 15 В. Начало отсчета времени совпадает с фронтом импульса. Записать аналитическое выражение этого сигнала.

Рис. 4. Импульсный сигнал прямоугольной формы

5. Источник ЭДС, линейно изменяющейся во времени по закону e(f) = 3·10–6 t В, подключается к внешним цепям идеальным коммутатором, который срабатывает в момент времени t0 = 2 мкс (рис. 5). Записать математическую модель напряжения на выходе такого устройства.

Рис. 5. Схема устройства к заданию № 5

6. Импульсный сигнал u(t), имеющий размерность напряжения (В), описывается формулой:

( ) = 25[ (−105 ) − (−2 ∙ 105 )] ( ).

18