3. Основные математические методы моделирования информационных процессов и систем

3.1. Виды математических моделей

Условимся делить математические модели на два класса: структурные и функциональные, которые, в свою очередь, будем подразделять на непрерывные (позволяют отразить непрерывные процессы) и дискретные (служат для описания дискретных процессов). Те и другие модели могут быть детерминированными (отображают процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий) и стохастическими (отображают вероятностные процессы и события). Кроме того, математическое моделирование может отображать как функциональное взаимодействие элементов системы, так и развитие процессов её функционирования, и в этом смысле удобно рассматривать аналитическое, имитационное и комбинированное моделирование.

Для аналитического моделирования характерно, что процессы функционирования системы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (алгебраических, интегро-дифференциальных, конечно-разностных) или логических условий. Методы исследования аналитической модели: а) аналитические; б) численные; в) качественные.

При имитационном моделировании реализующий модель алгоритм воспроизводит процесс функционирования системы S во времени, имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени.

Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование при анализе и синтезе систем позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. При построении комбинированных моделей проводится предварительная разбивка процесса функционирования объекта на подпроцессы и для тех из них, где это возможно используются аналитические модели, а для остальных строятся имитационные модели.

3.2. Структурные математические модели

Структурные математические модели предназначены для отображения структурных свойств объекта. Различают структурные модели топологические и геометрические.

Топологические отображают состав и взаимосвязи элементов объекта и применяются для описания сложных объектов, состоящих из большого числа элементов. Такие модели могут иметь форму графа или соответствующих им матриц. (Примеры: компоновка оборудования, размещение деталей, трассировка соединений, разработка расписаний).

Геометрические отображают совокупность данных, определяющих геометрическую форму объекта. Различают алгебрологические, аналитические, канонические, рецепторные, каркасные, кинематические и геометрические макромодели.

3.3. Функциональные математические модели

Математическая модель М объекта моделирования S можно представить в виде множества величин, описывающих процесс функционирования этого объекта и образующих в общем случае следующие подмножества: (рис. 3.1)

• совокупность входных воздействий на систему x_iX, ;

• совокупность воздействий внешней среды v_jV, ;

• совокупность внутренних параметров системы h_kH, ;

• совокупность выходных характеристик системы y_lY, .

П ри этом входные воздействия, воздействия внешней среды и внутренние параметры являются независимыми переменными (экзогенными), а выходные – зависимыми (эндогенными) переменными. Среди этих переменных могут быть управляемые

Рис. 3.1 Схема математической модели

и неуправляемые. Иногда, управляемые называют параметрами.

Математическое описание поведения объекта моделирования во времени t можно представить в следующем виде:

,

где F – оператор, преобразующий экзогенные переменные в эндогенные в соответствии с приведенным соотношением,

а для статических моделей в форме равенства:

,

то есть отображение между двумя подмножествами свойств моделируемого объекта Y и {X, V, H}.

Эти зависимости называются законами функционирования системы.

При построении математических функциональных моделей можно выделить следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (аналитические модели), непрерывно-стохастический (статистические модели и системы массового обслуживания), дискретно-детерминированный (конечные автоматы), дискретно-стохастический (вероятностные автоматы) обобщённый или универсальный (агрегативные системы). Соответственно этим подходам были разработаны типовые математические схемы создания моделей.