Объекты, образующие сеть Петри

C = {P, T, I, O};

Множество позиций

P = {p₁, p₂, p₃, p₄, p₅}

Множество переходов

T = {t₁, t₂, t₃, t₄, t₅}

Входная функция Выходная функция

I(t₁) = { p₂, p₄ }; O(t₁) = { p₁ };

I(t₂) = { p₄ }; O(t₂) = { p₂ };

I(t₃) = { p₁ }; O(t₃) = { p₃ };

I(t₄) = { p₃, p₅ }; O(t₄) = { p₄ };

I(t₅) = { p₃ }; O(t₅) = { p₅ };

Определим расширенную входную функцию I: P ← T, отображение из переходов в позиции; и

расширенную выходную функцию O: P → T, отображение из позиций в переходы.

Эти функции по форме являются обратными к ранее введенным входной и выходной функциям.

Для сети Петри, определенной выше эти функции имеют следующий вид:

2Расширенная входная Расширенная выходная

функция функция

I(p₁) = { t₁ }; O(p₁) = { t₃ };

I(p₂) = { t₂ }; O(p₂) = { t₁ };

I(p₃) = { t₃ }; O(p₃) = { t₄, t₅ };

I(p₄) = { t₄ }; O(p₄) = { t₁, t₂ };

I(p₅) = { t₅ }; O(p₅) = { t₄ };

Для наглядного описания сети Петри применяется граф, обладающий двумя типами узлов: Кружок является позицией, черта – переходом. Стрелки соединяют позиции и переходы, при этом стрелка, направленная от позиции к переходу определяет входную позицию для этого перехода, а стрелка, направленная от перехода к позиции – выходную позицию для этого перехода.

В качестве примера рассмотрим сеть Петри с графом, представленным на рис. 10.1.

Рис. 10.1. Граф сети Петри. Начальная маркировка сети.

Рис. 10.2. Граф сети Петри. Маркировка после первого такта.

Сеть Петри, представленная в форме графа на рис. 10.1-10.2, соответствует аналитическое описание, приведенное выше в примере.

10.2. Маркировка сети Петри.

Позициям в сети Петри могут быть присвоены метки или фишки, служащие для определения процесса работы сети. Маркировка сети Петри на рис. 10.1-10.2 представлена в виде точек (меток, фишек), находящихся в некоторых позициях сети.

В аналитической форме маркировка μ сети Петри определяется как отображение множества позиций P в множество неотрицательных целых чисел N

μ: P → N.

Маркировка может быть задана и в форме вектора μ = { μ₁, μ₂, … μ_n} (μ_i = 0, 1, 2, …), где индекс i при компоненте вектора μ_i совпадает с номером соответствующей позиции p_i. Вообще говоря в каждой позиции может быть ноль, одна или несколько фишек.

Приведем маркировку сети для примера 1, показанную на рис. 10.1.

Маркировка сети μ = { μ₁, μ₂, μ₃, μ₄, μ₅}

μ₁ = 1;

μ₂ = 0;

μ₃ = 0;

μ₄ = 1;

μ₅ = 1;

В результате аналитическое определение маркированной сети Петри включает пять объектов {P, T, I, O, μ}. Вообще говоря число фишек в каждой позиции сети Петри не ограничено. Поэтому каждая сеть Петри может иметь бесконечное число маркировок.

Сеть может быть "оживлена", при этом фишки будут переходить из одной позиции в другую, изменяя маркировку сети. Фишки могут перемещаться по сети только через "активные" (разрешенные) переходы.

Переход активен, если в каждой для него входной позиции имеется хотя бы одна метка.

В примере на рис. 10.1 разрешены (активны) переходы t₂, t₃ и t₄, во входных позициях которых p₄, p₁ и p₅ находятся фишки.

В результате срабатывания перехода число фишек в его входных позициях уменьшается на единицу, а число фишек в его выходных позициях увеличивается на единицу.

Новая маркировка сети, возникшая после срабатывания активных переходов на рис. 10.1, показана на рис. 10.2. В результате фишки оказываются в позициях p₂, p₃ и p₅, при этом активным становится переход t₄.

На следующем такте работы сети произойдет срабатывание перехода t₄ , после чего изменится маркировка сети (рис. 10.3).

Рис. 10.3. Граф сети Петри. Маркировка после второго такта

Рис. 10.4. Граф сети Петри. Маркировка после третьего такта

В результате активными становятся переходы t₁ и t₂ , так как в их входных позициях p₂ и p₄ имеется по одной фишке. После срабатывания этих переходов маркировка сети изменится еще раз (рис.10.4).