1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной, следующий
(1.1)
Задачей Коши (или
начальной задачей) для ОДУ (1.1) называют
задачу нахождения решения
этого уравнения, удовлетворяющего
начальному условию
,
где
и
- заданные числа. Это означает, что ищется
интегральная кривая уравнения (1.1),
проходящая через заданную точку
плоскости хоу.
Для ОДУ вида (1.1) справедлива
следующая теорема Коши: если в ОДУ
(1.1) функция
непрерывна в области D
плоскости
и имеет в этой области ограниченную
частную производную
,
то для любой точки
из области D в некотором
промежутке
существует единственное решение
этого уравнения, удовлетворяющее
начальному условию [I,
§3 гл. XIII, §27 гл. XYI];
[2, §14 и §16].
Пример.
Найти область, в которой уравнение
имеет единственное решение.
Решение.
В данной задаче
-
непрерывная функция в области
,
.
Частная производная
ограничена при
.
Следовательно, данное уравнение имеет
единственное решение в области
,
.
1.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида
(1.2)
или в симметричной форме
(1.3)
называются уравнениями с разделяющимися переменными [I, §4 гл.XIII]; [2, §13].
Предполагается,
что
и
в уравнении (1.2) непрерывны в промежутках
,
Если в точке
функция
в уравнении (1.2), то функция
является решением этого уравнения.
Решения уравнения
(1.2), при которых
,
удовлетворяют соотношению
.
Таким образом, эта формула позволяет получить общее решение ОДУ (1.2). Частное решение уравнения (1.2), удовлетворяющее условию , дается выражением
.
Уравнение вида
(1.3) делением на
приводится к уравнению с разделенными
переменными
.
Однако деление на может привести к потере частных решений, обращающих в ноль это произведение.
Пример. Решить уравнение .
Решение.
Запишем данное уравнение в виде
.
Функции
и
- решения уравнения. Остальные решения
найдем, разделив переменные в уравнении
и проинтегрировав его
,
,
,
,
;
.
Таким образом,
общее решение имеет вид
,
где
может принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Решение
можно получить из общего, положив
.
Но решение
нельзя получить ни при каких значениях
.
Задачи для самостоятельного решения
1. 
.
Ответ:
и
.
2. 
.
Ответ:
и
.
3. 
.
Ответ:
;
или
4. 
.
Ответ:
.
1.2. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Однородные ОДУ первого порядка имеют вид
.
(1.4)
Функция
,
зависящая только от отношения переменных,
называется функцией нулевой степени.
Вообще, функция
называется однородной степени n,
если для любых x и
y и
выполняется равенство
.
Уравнение вида
(1.5)
будет однородным,
если
и
являются однородными функциями
и
одинаковой степени однородности.
Уравнение вида
(1.4) или (1.5) приводится к уравнению с
разделяющимися переменными подстановкой
.
Вычислив производную
и подставив в уравнение (1.4), получим
.
В этом случае, если
,
разделяя переменные и интегрируя,
получим
(1.6)
Если же найдутся
такие значения u,
при которых
,
то каждому такому
будет отвечать решение
,
не вытекающее из общего интеграла (1.6).
Пример.
Найти частное решение уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
.
Решение.
Применяем подстановку
.
Получим
;
;
;
,
,
;
,
.
Таким образом,
получен общий интеграл рассматриваемого
ОДУ. Для получения частного решения
подставим в общий интеграл начальные
данные
.
Определим постоянную
.
Частный интеграл, удовлетворяющий
заданным начальным данным, имеет вид
.
Пример.
Решить уравнение
.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
и положим
,
откуда
.
Подставляя в уравнение выражения
и
,
получим
;
.
Последнее получим
при условии
.
Интегрированием находим
,
;
Учитывая, что
и обозначая
получим
,
где
или
.
Заменяя
на
,
получим общий интеграл
Положим теперь
х = 0 и
.
Но х = 0 не удовлетворяет уравнению
при произвольном у. Из второго
равенства имеем
,
.
Проверка показывает, что эти функции
являются решениями уравнения.
Задачи для самостоятельного решения
1.
.
Ответ:
.
2.
,
у(3)=4. Ответ:
.
3.
.
Ответ:
.