ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный

технический университет»

Кафедра технологических и автоматизированных

систем электронного машиностроения

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторным работам №1–4 по курсам «Моделирование систем» и «Системы автоматизированного проектирования» для бакалавров направления 210100.62 «Электроника и микроэлектроника» (профиль «Электронное машиностроение») и направления 230400.62 «Информационные системы и технологии» (профиль «Информационные системы и технологии») очной формы обучения

Воронеж 2012

Составители: д-р техн. наук К.А. Разинкин,

канд. техн. наук В.Г. Мединцев

УДК 519.711.3

Методические указания к лабораторным работам №1–4 по курсам «Моделирование систем» и «Системы автоматизированного проектирования» для бакалавров направления 210100.62 «Электроника и микроэлектроника» (профиль «Электронное машиностроение») и направления 230400.62 «Информационные системы и технологии» (профиль «Информационные системы и технологии») очной формы обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. К.А. Разинкин, В.Г. Мединцев. Воронеж, 2012. 49 с.

Методические указания содержат краткие теоретические и практические сведения об электропроводности полупроводников, магнитных явлениях, фоторезисторах, диэлектрических потерях.

Методические указания подготовлены в электронном виде в текстовом редакторе MS Word 2003 и содержатся в файле Модел_метод_указ_№ 1-4.doc.

Ил. 40. Библиогр.: 7 назв.

Рецензент канд. техн. наук, доц. А.В. Питолин

Ответственный за выпуск зав. кафедрой

д-р техн. наук, проф. О.Н. Чопоров

Издается по решению редакционно-издательского совета Воронежского государственного технического университета

Ó ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2012

Лабораторная работа №1

Модели непрерывных систем.

Динамические и частотные характеристики.

Цель работы

Получение навыков составления дифференциальных уравнений и передаточных функций простых систем (на примере четырехполюсных элементов - RCL - цепочек), а также ознакомление с инструментарием построения и изучения динамических и частотных характеристик систем автоматического управления (САУ) на основе Control System Toolbox входящего в состав пакета Matlab.

Общие теоретические сведения

Непрерывные процессы, протекающие в системах управления, могут быть описаны обыкновенными дифференциальными уравнениями с соответствующими начальными условиями. Тогда, если известен входной сигнал, выходной сигнал определяется в результате решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (1.1).

Одномерная линейная непрерывная нестационарная система управления описывается дифференциальным уравнением

(1.1)

с начальными условиями

, (1.2)

-входной сигнал; - выходной сигнал; t - время; - коэффициенты левой и правой частей уравнения; n и m - порядки старших производных выходного и входного сигналов соответственно; - момент начала функционирования системы.

Если коэффициенты уравнения постоянны, система называется линейной стационарной:

(1.3)

В операторной форме уравнение 1 имеет вид

(1.4)

где - символ, обозначающий операцию дифференцирования; , - дифференциальные операторы левой и правой частей уравнения (1.1):

Уравнение (1.3) в операторной форме имеет вид

(1.5)

где

Из операторной формы уравнения следует способ изображения стационарной системы на структурных схемах (рис. 1.1).

Рис. 1.1

Таким образом, в качестве объекта исследования выступают линейные (линеаризованные) динамические стационарные системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной САУ задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов

.

В ходе выполнения работы необходимо:

1. На основании принципиальной схемы изложенной в соответствии с вариантом задания записать передаточную функцию системы через обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее входную и выходную величину в любой момент времени.

2. Определить полюса (корни характеристического уравнения) и нули передаточной функции , .

3. Построить графики переходной и импульсно-переходной функции: h(t), w(t).

4. Построить логарифмические частотные характеристики L (w ).

5. Построить частотный годограф Найквиста W(jw ), w = [0, ∞].

6. Представить исходную систему в виде последовательного соединения типовых звеньев. Построить характеристики этих типовых звеньев.

Рассмотрим примеры составления дифференциальных уравнений и передаточных функций на примерах простых четырехполюсных элементов (RLC -цепочек).

Пример 1. Пусть дана схема четырехполюсника, представленная на рис. 1.2. Требуется составить дифференциальное уравнение, связывающее входное и выходное напряжение в любой момент времени. Затем составить передаточную функцию разомкнутой системы.

Рис. 1.2

, связь тока и напряжения в ёмкости запишется как , тогда , отсюда ,

Обозначим , и получим дифференциальное уравнение вида . В форме Коши уравнение будет иметь вид . Операторная форма записи - . Далее запишем передаточную функцию системы в виде отношения .

П ример 2. Условия примера аналогичны условиям примера 1.

Рис. 1.3

Запишем уравнение второго закона Кирхгофа, соотношение, связывающее ток и напряжение на емкости, и начальные условия:

; ; Обозначим . Учитывая, что по закону Ома , получим . Обозначим , , тогда . Операторный вид и передаточную функцию представьте самостоятельно ориентируясь на данные примера 1.

Динамические свойства систем характеризуют реакции на входные воздействия специального вида. В частности анализ выхода системы на единичный скачок и δ -функцию (дельта-функцию).

П

Рис.1.4. Функция Хевисайда

усть u(t) = 1(t), то есть на вход системы подается функция Хевисайда (единичный скачок), определяемая

График функции Хевисайда приведен на рис. 1.4.

Рис. 1.4. Функция Хевисайда

Реакция САУ на единичный скачок называется переходной функцией системы и обозначается h(t).

Если u(t) = δ (t), то есть на вход системы поступает функция Дирака (δ -функция, импульсная функция, рис. 1.5) определяемая

Рис. 1.5. Функция Дирака

то реакция САУ называется импульсной переходной функцией системы и обозначается w(t). Таким образом оригинал комплексной передаточной функции можно измерить как реакцию систему на импульс.

Импульсная и переходная функции системы связаны соотношением (из (1.4)):

.

Благодаря широкому применению при исследовании устойчивости динамических систем и проектировании регуляторов получили распространение частотные характеристики.

Пусть на вход системы с передаточной функцией W(s) подается гармонический сигнал u(t) = a_u cos(wt), t >0. (1.5)

В этих условиях справедлива следующая теорема:

Если звено является устойчивым, то установившаяся реакция y(t) на гармоническое воздействие является функцией той же частоты с амплитудой

a_y = a_u |W(jw )|, и относительным сдвигом по фазе ψ = arg W(jw ).

Таким образом, выход определяется гармонической функцией

y(t) = a_u |W(jw )| cos(wt + arg W(jw)), где i – комплексная единица (i² = –1), – частотная характеристика.

Частотной характеристикой W(jw ) стационарной динамической системы называется преобразование Фурье переходной функции:

,

где w(t – w ) – импульсная переходная функция.

Связь между комплексной передаточной функцией и частотной характеристикой, исходя из свойств преобразований Фурье можно представить в виде соотношения:

.

При фиксированном значении w частотная характеристика является комплексным числом, и, следовательно, может быть представлена в виде

.

Здесь – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ);

– фазово-частотная характеристика (ФЧХ);

– вещественная частотная характеристика (ВЧХ);

– мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Геометрическое место точек W(jw ) на комплексной плоскости при изменении w от w₀ до от w₁ (обычно w ₀ = 0, w ₁ = w ), называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотным годографом Найквиста.

Имеет широкое практическое значение диаграмма Боде (логарифмическая амплитудная характеристика, ЛАХ), которая определяется как L = 20 lg A(w), измеряется в децибелах и строится как функция от lg w .

Последовательность выполнения работы

Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.

В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:

TF([b_m, …, b₁, b₀], [a_n, …, a₁, a₀])

b_m, …, b₁ – значения коэффициентов полинома В в (1.3),

a_n, …, a₁ – значения коэффициентов полинома A в (1.3).

Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Некоторые команды Control System Toolbox

Синтаксис	Описание
pole(<LTI-объект>)	Вычисление полюсов передаточной функции
zero(<LTI-объект>)	Вычисление нулей передаточной функции

Продолжение табл. 1.1

step(<LTI-объект>)	Построение графика переходного процесса
impulse(<LTI-объект>)	Построение графика импульсной переходной функции
bode(<LTI-объект>)	Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде)
nyquist(<LTI-объект>)	Построение частотного годографа Найквиста

Для определения корней полиномов степени k, может, также, применятся команда MATLAB roots(P), которая, в качестве аргумента P, получает матрицу коэффициентов полинома [p_k, …, p₀].

Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.

Таким образом, выполнение лабораторной работы состоит из следующих шагов:

1. Изучить теоретические сведения.

2. Запустить систему MATLAB.

3. Создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.

4. Составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.

5. Определить полюса передаточной функции с использованием команды roots или pole.

6. Определить нули передаточной функции с использованием команды roots или zero.

7. Используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста.

8. Получить представление исходной функции в виде произведения типовых звеньев.

9. Ответить на контрольные вопросы.

10. Оформить отчет.

11. Сдать отчет преподавателю и защитить работу.

Отчет оформляется в соответствии с требованиями, предъявляемыми к оформлению лабораторных работ в вузе, и должен содержать титульный лист, формулировку цели работы, постановку задачи в соответствии с вариантом задания, результаты работы, выводы.

Примечание: Варианты заданий, состоят из двух цифр: первая - номер передаточной функции, вторая – номер набора значений коэффициентов.