- •230201 “Информационные системы и технологии”
- •1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация.
- •2. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z0g.
- •4. Равномерная непрерывность в ограниченной замкнутой области
- •5. Дифференцирование функций комплексной переменной
- •6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной
- •7. Гармонические функции
- •8. Элементарные функции комплексной переменной (кп)
- •Библиографический список
- •1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация……...1
- •Библиографический список……………………………………………27
- •230201 “Информационные системы и технологии”
- •Подписано к изданию 13.05.2013. Уч.- изд. Л. 3,4. “с”.
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
7. Гармонические функции
Гармонической в области D функцией называется действительная функция двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению
(здесь - символ дифференциального оператора).
Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике.
Заметим, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация гармонических функций является гармонической функцией.
Гармонические функции весьма популярны в приложениях: потенциалы важнейших векторных полей, рассматриваемых в физике, являются гармоническими функциями, и любую гармоническую функцию можно представить физически как потенциал некоторого поля.
Поэтому очень часто теорию гармонических функций называют теорией потенциала.
Установим связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается двумя простыми теоремами.
Теорема 2. Действительная и мнимая части произвольной функции , однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.
Так как аналитические функции обладают производными любого порядка, то условия Даламбера-Эйлера можно дифференцировать по x и y . Продифференцировав первое из них по x, второе – по у, в силу теоремы о смешанных производных получим , .
Две гармонические в области D функции и , связанные условиями Даламбера-Эйлера, называются сопряженными.
Теорема 3. Для всякой функции , гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию .
Рассмотрим интеграл
, где - фиксированная, а - переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа
, этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки z. Пользуясь свойствами криволинейных интегралов, получим , . Следовательно, функция и является искомой, сопряженной с . Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с , задается формулой
, где с – произвольная действительная постоянная.
В многосвязной области интеграл определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Интеграл может принимать различные значения вдоль путей L и , соединяющих точки и z, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, т.е. если внутри области, ограниченной L и , имеются точки не принадлежащие D.
При практическом восстановлении аналитической функции по её действительной (или мнимой) части можно воспользоваться следующим рассуждением.
Пусть, функция удовлетворяет соотношению . На условия Даламбера-Эйлера смотрим как на систему дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции :
.
Из первого уравнения следует, что
так как по частному дифференциалу функция восстанавливается с точностью до слагаемого, зависящего от переменной y (вспомните, что по теореме о первообразной функция восстанавливается по полному дифференциалу с точностью до аддитивной постоянной). При вычислении интеграла, y – считается постоянным параметром.
Из второго условия Даламбера-Эйлера получим
В силу гармоничности
Таким образом,
Постоянную с можно вычислить, если известно значение восстанавливаемой функции в некоторой точке : .
Пример 1. Найти аналитическую функцию по известной ее части и дополнительном условии .
Решаем с помощью уравнений Даламбера-Эйлера:
функция φ(x) пока неизвестна. Дифференцируя по x и используя второе из условий аналитичности, получим
откуда а значит , Итак, , и, следовательно,
Здесь мы воспользовались определением показательной функции. Постоянную с найдем из условия , т.е.