2. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z0g.

Определение 1. (по Гейне) Комплексное число w₀ называется пределом f(z), zg, в точке z₀g, если для  {z_n}₀ соответствующая последовательность {f(z_n)} w₀. Замечание. Предполагается, что z₀ является точкой сгущения (предельной точкой множества g.)

Определение. Точка z₀ g называется точкой сгущения (предельной точкой) множества g, если в   - окрестности точки z₀ содержатся точки множества g, отличные от z₀.

Определение 2. (по Коши) Комплексное число w₀ называется пределом f(z), z g, в точке z₀g, если для  >0  ( ,z₀)>0 : | f(z)-w₀ |< , как только 0<| z-z₀|<. Обозначение: f(z)= w₀. Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z₀ и w₀ в отличие от определения предела по Гейне . Определения по Гейне и по Коши эквивалентны, что легко доказать самим. Доказательство. 1) 2 1 (Коши-Гейне). Пусть f(z) удовлетворяет 2. Возьмем  >0 и выберем соответствующее ( )>0. Рассмотрим произвольную последовательность {z_n}₀ и найдем N[ ( )]=N( ): для  n N( ) 0<|z_n-z₀|<. Тогда по условию 2. 0<|f(z_n)-w₀|< для  n N(). А т.к.  >0- любое и {z_n}-произвольная, то это значит, что {f(z_n)} w₀, т.е. выполнено 1.

2) 1 2 (Гейне-Коши). Предположим противное: пусть верно 1, а 2- неверно. Это значит, что ₀>0, что  _n>0  z_ng, что при 0<|z_n-z₀ |<_n, будет выполнено |f(z)-w₀|>₀. Выберем {_n} и соответствующую ей последовательность {z_n}, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что  {z_n} z₀, а {f(z_n)} не w₀, т.е. 1.- неверно. Получили противоречие. Сделанное предположение неверно, т.е. из 1 2.

3. Непрерывность функции. Определение непрерывности f(z) в точке z₀. Функция комплексной переменной f(z), zg, называется непрерывной в точке z₀g, если  ограниченный предел: f(z)=w₀ и w₀=f(z₀), т.е. f(z)= f(z₀). Очевидно, при этом достаточно малая  - окрестность точки z₀ отображается f(z) на достаточно малую  - окрестность точки w₀= f(z₀). Определение непрерывности функции в точке в терминах  -. Функция комплексной переменной f(z), zg, называется непрерывной в точке z₀ g, если   >0 ( ,z₀)>0: для  z: |z-z₀|<; |f(z)-f(z₀)|< .

Замечание 1. Это определение распространяется как на внутренние, так и на граничные точки множества. Определение. Точка z₀ называется изолированной точкой множества g, если в  такая ее  -окрестность, в которой нет других точек множества g.

Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z₀ g.

Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), zg, в точке z₀ g справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z₀ . При этом под пределом функции f(z) при z→∞ по Гейне надо понимать предел последовательности {f(z_n)}, где {z_n} -  неограниченно возрастающая последовательность . В  - определении непрерывности функции f(z) при z→∞ условие z-z₀< надо заменить на условие |z| >R.

Примеры: а) функции w=az+b, w=z^*, w=const, w=Re z, w=zⁿ, w=|z| - являются непрерывными на всей комплексной плоскости. б) функция w=arg(z) является непрерывной нам всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0 и точек, лежащей на положительной части действительной полуоси. Основное определение. Функция комплексной переменной f(z), z g, называется непрерывной в области g, если она непрерывна в  zg. Обозначение: f(z)C(g).

Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z) C(g) для заданного   зависит от ( ,z) ( = ( ,z)), т.е. на  - окрестность  точки w=f(z)D отображается  - окрестность соответствующей точки z, где  для различных z- различна. Более тонкое понятие равномерной непрерывности в g.