4. Равномерная непрерывность в ограниченной замкнутой области

Определение. Функция комплексной переменной f(z), называется равномерно непрерывной в g, если для >0  ( )>0 (зависящее только от ): такое, что для z₁, z₂ g:| z₁-z₂ |<; |f(z₁)-f(z₂) < . Любые  - близкие точки области g отображаются на соответствующие -близкие точки области D.

Определение. Множество g называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором круге.

5. Дифференцирование функций комплексной переменной

Условие дифференцируемости функции комплексной переменной

Пусть определена и однозначна в некоторой области окрестности точки .

Функция дифференцируема в точке , если существует предел отношения полного приращения функции в точке к приращению переменного при :

. (1)

При условии существования предел этот называется производной функции в точке и обозначается .

В лекционном курсе была доказана теорема: для того, чтобы функция , определенная в некоторой области D, была дифференцируема в точке как функция комплексной переменной, необходимо и достаточно, чтобы функции и были дифференцируемы в той же точке (как функции двух действительных переменных) и чтобы выполнялись условия:

, . (2)

При выполнении всех условий теоремы производная может быть представлена в одной из следующих форм:

.

Условия (1) были получены Даламбером (1752г.) и Эйлером (1755г.) в связи с рассмотрением задач гидродинамики; в 1777г. Эйлер вновь получает эти условия в связи с рассмотрением интегралов от ФКП. В литературе эти условия часто называют условиями Коши-Римана, хотя исторической справедливости ради их следовало бы называть условиями Даламбера-Эйлера.

Функция , дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической (регулярной или моногенной) в этой области. Подчеркнем, что определение аналитической функции предполагает её однозначность в области D, ибо понятия предела и производной определены лишь для однозначных функций.

Во многих случаях важно иметь условия дифференцируемости функции

,

выражаемые с помощью полярных координат и . Условия эти (необходимые и достаточные) таковы:

1) и являются дифференцируемыми функциями и ;

2) их частные производные связаны соотношениями

, .

Для аналитических функций имеют силу обычные правила дифференцирования:

; , ;

, .

Если и - взаимно обратные аналитические функции, то .

6. Геометрический смысл аргумента и модуля производной

Рассмотрим аналитическую в окрестности некоторой точки функцию .

Пусть в плоскости через точку проведены две гладкие кривые , угол между которыми (угол между касательными к этим кривым в точке ) равен (рисунок 1).

W=f(z)

Р исунок 1.

Пусть параметрические уравнения кривой , Тогда точки плоскости , принадлежащие кривой , соответствуют комплексным числам при , .

Так как в точке z₀ (t = t₀) кривая гладкая, то , ибо в противном случае , и касательная в точке была бы не определена.

Угловой коэффициент касательной

.

Отсюда . (3)

В результате отображения, осуществляемого функцией , , - кривая на плоскости .

При этом точки определяются одним параметром и могут быть получены из соотношения

,

причем, когда параметр изменяется от до , точка пробегает всю кривую . Пусть - образ точки : . Аналогично (3) в плоскости .

(4)

По правилу дифференцирования сложной функции

. (5)

Условие (5) выполняется в силу неравенства нулю производной в точке . Аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей, поэтому

(6)

Из (2), (3), (5) следует, что

(7)

Анализируем выражение (7): зависит только от вида функции и выбора точки z₀. Следовательно, угол между касательной к любой гладкой кривой и осью в точке есть сумма углов: между касательной и кривой и .

Так как этот результат верен для любой гладкой кривой, то при отображении посредством аналитической функции пучка гладких кривых, проведенных через точку z₀, касательные ко всем отображенным кривым – образом прежних кривых – поворачиваются на один и тот же угол, равный .

Очевидно, углы между кривыми-образами (на плоскости W) равны углам между соответствующими кривыми-прообразами (на плоскости Z). Например ( рисунок 1), угол между кривыми и в точке есть . Соответствующие кривые-образы и (на плоскости ) имеют углы с осью Ou: , угол между и .

Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным.

Следовательно, отображение, осуществляемое аналитической функцией, конформно во всех точках, где . Требование неравенства производной нулю существенно, так как аргумент нуля неопределен.

Выясним геометрический смысл модуля производной . Рассмотрим окрестность точки и соответствующую ей окрестность точки . Расстояния от точек этих окрестностей до их центров – точек и запишутся в виде , Отношение рассматриваем как коэффициент растяжения (или сжатия), возникающего при отображении. Далее,

.

Так как значение производной не зависит от направления стремления к точке , то окрестность точки растягивается при отображении равномерно, с коэффициентом растяжения, равным для любого направления из точки z₀.

Таким образом, при конформном отображении окрестность каждой точки z₀ испытывает равномерное растяжение с коэффициентом , касательные ко всем гладким кривым, проходящим через точку , поворачиваются на один и тот же угол , углы между кривыми сохраняются.