3. Методы расчетов диффузионных структур

При проведении расчетов диффузионных структур решают два основных типа задач: определение профиля распределения концентрации примеси на основании заданного технологического режима {прямая задача) и определение режима процесса диффузии на основании параметров конечного распределения примеси в структуре (обратная задача). Рассмотрим примеры решения прямых задач.

Расчет распределения примеси в случае двухстадийной диффузии. Как отмечалось, особенностью диффузии в планарной технологии является разбиение ее на две стадии. Стадия загонки примеси осуществляется в течение короткого времени t₁ при постоянной поверхностной концентрации С₀₁ Введенное при загонке количество примесных атомов N (ат/см²) служит источником диффузанта при последующей разгонке в течение времени t₂ с изменяющейся во времени поверхностной концентрацией:

.

Для построения профиля распределения примеси в случае двухстадийной диффузии необходимо знать температуры и длительности загонки и разгонки. Температура Т₁ задает коэффициент диффузии примеси D₁ и поверхностную концентрацию С₀₁ определяемую предельной растворимостью примеси.

Поверхностная плотность атомов примеси, введенной на стадии загонки, определяется интегрированием распределения примеси:

. (10)

Распределение примеси после стадии разгонки определяется выражением

. (11)

Пример 1. Построить профиль распределения примеси и определить глубину залегания р-n-перехода в случае двухстадийной диффузии фосфора в кремний с электропроводностью р-типа с удельным сопротивлением 10 Ом∙см, проводимой в режиме: T₁=1050°С, t₁ = 10 мин, T₂ = 1150° С, t₂ = 2 ч.

1. Определим С₀₁. Пользуясь рис. А, найдем, что для T=1050°С предельная растворимость фосфора в кремнии составляет 1,2 • 10²¹ см^-3. Принимаем С₀₁, = 1,2•10²¹ см^-3.

2. Определим D₂. С помощью рис. 2,а для T=1050°С найдем, что D₂ = 2,5∙10^-14 см²/с.

3. Вычислим N:

4. Определяем D₂. С помощью рис. 2, а для T=1150°C найдем, что D₂ = 4∙10^-13 см²/с.

4. Построим кривую распределения:

Профиль распределения концентрации фосфора после разгонки показан на рис. 3. Для сравнения там же приведена кривая распределения фосфора после стадии загонки:

4. Определяем глубину залегания р-n-перехода. Согласно формуле (2).

Значение концентрации примеси в исходной пластине найдем с помощью кривой р=f(с) на рис. В: для р_ν = 10 Ом-см Св= 1,2∙10¹⁵ см^-3. Тогда

Расчет по упрощенной формуле (4) дает:

что достаточно близко к точному значению.

Рис. 3. Расчетные профили распределения фосфора после загонки (1) и разгонки (2)

Расчет распределения примеси при диффузии из слоя конечной толщины. Рассмотренный пример 1 наглядно показывает, что при выполнении условия D₁t₂<D₂t₂ (1,5∙10^-11<2,88∙10^-9) форма профиля распределения примеси на стадии загонки не влияет на профиль распределения после разгонки, ибо глубины залегания этих распределений несопоставимы. Если условие D₁t₂<,D₂t₂ не выполняется, то глубина диффузии на стадии разгонки сравнима с глубиной диффузии на стадии загонки, поэтому нельзя считать, что разгонка осуществляется из бесконечно тонкого слоя с ограниченным содержанием примеси. В этом случае получается комбинированное распределение, определяемое решением уравнения Фика для диффузии из слоя конечной толщины:

(12)

где у — переменная интегрирования;

Поверхностная концентрация после стадии разгонки С₀₂ = С(х=0, t₁, t₂)

.

Интеграл (12) вычислен и табулирован для различных а и z (табл. 1).

Таблица 1

z/a	0,1	0,3	0,5	1,0	2,0	3,0	5,0
0,1	0,09015	0,07376	0,06035	0,03655	0,01340	0,00491	0,00066
0,3	0,26295	0,21403	0,17422	0,10416	0,03725	0,01333	0,00174
0,5	0,41626	0,33557	0,27058	0,15812	0y05419	0,01866	0,00224
0,7	0,54464	0,43340	0,34515	0,19596	0,06398	0,02120	0,00242
0,9	0,64829	0,50812	0,39903	0,21979	0,06867	0,02213	0,00245
1,5	0,84509	0,63065	0,47586	0,24431	0,07141	0,02247	0,00246
3,0	0,99920	0,68698	0,49825	0,24708	0,07147	0,02247	0,00246
5,0	1,02843	0,68892	0,49843	0,24709	0,07147	0,02247	0,00246

Пример 2. Рассчитать распределение примеси для двухстадийной диффузии фосфора в кремний, проводимой в режиме: T₁=1250°C, t₁ = 10 мин, Т₂ = 1150° С, t₂=2 ч. Определить глубину залегания р-n-перехода.

1. С помощью рис. 2,а определим коэффициенты диффузии фосфора в кремнии: D₁ = 4∙10^-12 см²/с, D₂=4∙10^-13 см²/с.

2. Так как D₁t₁ = 4∙10^-12∙10∙60=2,4∙10^-9≈ D₂t₂=4 10^-13∙2∙60∙60 = 2,88 10^-9 см², то следует использовать формулу (12).

3. Определим а и z:

4. Определим поверхностную концентрацию после разгонки. Согласно кривой С=f(T) на рис. А, при T, = 1250°С C₀₁=l,2∙10²¹ см^-3.

4. Поверхностная концентрация после разгонки

6. Построим распределение. Пользуясь табл. 1, зададим значения z=0,1, 0,3, 0,5 и т. д. и определим для а = 0,9 значения интеграла. При построении графика найдем глубину (см):

7. На стадии загонки распределение примеси имеет вид

Оба профиля — после загонки 1 и после разгонки 2—показаны на рис. 4. Уже на стадии загонки глубина диффузии составляет около 3/4 полной глубины после разгонки.

8. Глубину залегания р-n-перехода определим по приближенной формуле (4), в которой учтем наличие двух сравнимых по глубинам диффузии стадий:

9. Для сравнения построим профиль распределения без учета реального соотношения между D₁t₁ и D₂t₂, используя кривую Гаусса при (Dt)_эф=D₁t₁+D₂t₂

где

Это распределение показано на рис. 4 кривой 3, которая хорошо аппроксимирует кривую 2 на малых глубинах, но при х>=4 мкм завышает концентрацию почти на порядок.

Рис. 4. Расчетные профили распределения фосфора при двухстадийной диффузии

Расчет распределения примеси в случае двойной последовательной диффузии. При изготовлении диффузионных транзисторов тиристоров, варикапов и многих других приборов и интегральных микросхем активную структуру получают путем последовательной диффузии примесей, создающих слои с различным типом электропроводности. Если ведется двойная последовательная диффузия акцепторной примеси с параметрами С_Оа, D_a, t_а, а затем донорной примеси с параметрами С_Од, Dд, t_Д в полупроводник с электропроводностью n-типа, равномерно легированный примесью с концентрацией Св, то суммарное распределение концентрации имеет вид

. (13)

Рис. 9.7. Расчетные профили распре­деления фосфора при двухстадийной диффузии

Так как атомы акцепторной и донорной примесей взаимно компенсируют друг друга, то при расчете профиля распределения значениям концентраций придают положительный (для акцепторов) и отрицательный (для доноров) знаки или наоборот. Первая диффузия является более глубокой, последующая — более мелкой, но с более высокой концентрацией, поэтому при двойной последовательной диффузии будут получены структуры п-р-п согласно формуле (13) или р-п-р, если поменять местами типы примесей. Подобное распределение является типичным при получении структуры диффузионного транзистора. Первую диффузию с низкой поверхностной концентрацией и большой глубиной называют базовой. Она служит для создания базовой р-области. Вторую диффузию с высокой поверхностной концентрацией и малой глубиной называют эмиттерной. Она предназначена для получения эмиттерной области с электропроводностью n-типа.

Базовую диффузию осуществляют в две стадии, поэтому ее вклад в суммарное распределение (13) отражен в виде кривой Гаусса, тогда как эмиттерную диффузию обычно ведут в одну стадию и распределение примеси описывается erfc-функцией. Выражение (13) справедливо только в том случае, если во время эмиттерной диффузии не происходит заметного перемещения акцепторной примеси. В более общем случае

, (14)

где

. (15)

D_a* — коэффициент диффузии акцепторов при температуре диффузии доноров.

Для определения глубины залегания эмиттерного р-n-перехода приравняем суммарную концентрацию нулю и учтем, что Св во много раз меньше концентраций диффундирующих доноров и акцепторов. Тогда для распределения (13)

.

Воспользуемся аппроксимацией erfc-функции:

. (16)

Преобразуя (16), получим

. (17)

Это уравнение решим методом итерации, принимая за начальное значение

, (18)

тогда

. (19)

Уточненное значение глубины залегания эмиттерного р-n- перехода

. (20)

При определении глубины залегания коллекторного перехода следует учесть его смещение при эмиттерной диффузии, поэтому

,

где С_Оа определяется формулой (15).

Пример 3. Рассчитать профиль распределения концентрации примеси в n-p-n-структуре, полученной последовательной диффузией бора и фосфора в кремний с электропроводностью n-типа и удельным сопротивлением 0,15 Ом∙см н проводимой в режимах: T_а=1200°С, t_а = 1 ч, T_Д=1100° С, t_д = 2 ч. Поверхностная плотность атомов бора N_a=5∙10¹⁴ см^-2, диффузия фосфора ведется из неограниченного источника примеси с поверхностной концентрацией, равной предельной растворимости

1. С помощью рис. В найдем концентрацию донорной примеси в исходной пластине кремния Св = 5∙10¹⁶ см^-3.

2. Определим коэффициенты диффузии. Согласно рис. 2а, D_а= 2∙10^‑12 см²/с, D_а* = 2,5∙10^-13 см²/с, D_д=10^-13 см²/с. Согласно рис. А, С_0д = 1,2∙10²¹ см^-3.

3.Сопоставим произведения D_а t_а и D_а* t_д:

D_at_a = 2∙10^-12∙1∙60∙60 = 7,2∙10^-9 см²,

D_а*t_д = 2,5∙10^-13∙2∙60∙60= 1,8∙10^-9 см².

Таким образом, D_at_a>D_a*t_д и для построения распределений можно использовать формулу (13):

,

где

,

.

4. Для рационального выбора шага по оси х при построении распределения определим глубину залегания коллекторного и эмиттерного переходов.

Для определения глубины залегания эмиттерного перехода используем формулы (18)—(20):

. ,

,

5. Построим распределение:

.

До глубины х=1,2 мкм используем шаг 0,3 мкм, на глубинах х=1,5—3,5 мкм используем шаг 0,5 мкм. Обычно такое распределение принято представлять в виде отдельных кривых (рис. 5). С помощью этих кривых можно найти глубину залегания эмиттерного и коллекторного переходов по точкам пересечения. На рис. 5 показано также распределение концентрации примеси в исходной эпитаксиальной структуре с толщиной эпитаксиального слоя 5,5 мкм и концентрацией примеси в подложке 5∙10¹⁸ см^-3. Толщина области базы р-типа

.

Рис. 5. Расчетные профили распределения примеси в n-р-n-транзисторе, полученном двойной последовательной диффузией