2.1 Качественный анализ частотных характеристик входной функции

Качественный анализ частотных характеристик будем проводить, исходя из схемы реактивного двухполюсника (рис.2.1)

Рисунок 2.1 – Схема реактивного двухполюсника

На частоте , (закоротка на L₁ и L₂, разрыв на C) .Так как сопротивление катушки при ω=0 Z_L→0, а сопротивление конденсатора бесконечно велико Z_C→∞ , то ток пойдет через индуктивность L₂.

На частоте (разрыв на L₁ и L₂, за коротка на C). При частоте ω→∞ Z_L→∞, а Z_C→0 , то ток не пройдет через индуктивности L₁ и L₂, соответственно тока в цепи не будет.

Для определения числа резонансов, воспользуемся формулой:

, (2.1)

где - число независимых реактивностей. Тогда будет равен:

.

Рисунок 2.2 – диаграмма реактивных сопротивлений [2]

Учет влияния R_ш на основе эквивалентных схем для и (рисунок 2.3)

ω=0 ω=∞

Рисунок 2.3 – Учет влияния R_ш на крайних частотах

Чтобы узнать значение резонансного сопротивления и добротность, представим соединения R_ш как последовательное соединение с реактивностями:

(2.2)

(2.3)

Сопротивление потерь будет равно сумме сопротивлений по обходу контура:

Резонансное сопротивление найдем, используя формулу для сложных контуров с 2-мя индуктивностями [2]:

Добротность рассчитаем по формуле [2]:

Теперь найдем резонансное сопротивление при резонансе напряжений, для этого рассчитаем R_доп на участке с емкостью С:

Так как при резонансе напряжений реактивности компенсируют друг друга, то останется только сопротивление потерь, оно и будет резонансным:

Так как сопротивление R_ш шунтирует вход, то |Z_вх| R_ш для любой частоты:

Рисунок 2.5 – Предполагаемый характер АЧХ входной функции

(определяется Z_L2) (определяется R_ш)

Рисунок 2.6 – Фаза входной функции на крайних частотах

Рисунок 2.7 – Предполагаемый характер ФЧХ входной функции

2.2 Нахождение операторного выражения входного сопротивления нагрузки

Рисунок 2.8 – Исследуемая нагрузка

Упростим схему и заменим элементы в 2 параллельных эквивалентных элемента:

В итоге получим :

Проверка размерности

:

Проверка на крайних частотах:

при

при

Нормирование функции входного сопротивления:

2.3 Нахождение частоты и сопротивления резонанса

По определению фазовый резонанс в цепи содержащий реактивные элементы, наступает в том случае, когда входное сопротивление чисто активно. Пользуясь данным утверждением, выделим мнимую часть из функции (ω) и приравняем ее к нулю.

Помножим числитель и знаменатель на число комплексно-сопряженное знаменателю, тогда в знаменателе будет вещественное число, а числитель станет равен:

(

Приравниваем мнимую часть числителя к нулю и найдем

Решая данное уравнение получаем

Так как в реальности частота не может быть отрицательной и учитывая, что 0 является крайней частотой, то резонансных частот будет две:

Для нахождения резонансного сопротивления, подставим найденные частоты в выражение для

В ненормированном случае, резонансное сопротивление равно:

Ом,

Ом.

Выражение для нормированной АЧХ нагрузки:

Рисунок 2.9 – АЧХ нагрузки

Фазу входной функции найдем как разность арктангенсов числителя и знаменателя:

Рисунок 2.10– ФЧХ нагрузки

Графики АЧХ и ФЧХ нагрузки (рисунки 2.9 и 2.10) полностью совпадают с предполагаемым расчетом.

В таблице 2.1 представлены сопротивления нагрузки на характерных частотах.

Таблица 2.1 – Сопротивление нагрузки

Частота, отн. ед.	0	1	1,414	0,2	∞
Сопротивление, Ом	0	602,993	14,852	87,136	3000