Добавил:

Morze Developerrnrn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Теория функций комплексного переменного

Файл:

Matan тест

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

08.04.2022

Размер:

1.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

5.8.3. Определите модуль r																			и аргумент		комплексного числа z			2i					.

																												i
																								3				i
#5) r		1;									.
#5) r		1;						3			.

5.8.4. Определите модуль r																			и аргумент		комплексного числа z		1	i			3	.

																							1	i	3
																							1	i	3
#2) r		1;			2					.

						3
																									2
5.8.5. Определите модуль r																							1	i 3	2
																			и аргумент		комплексного числа					.
																			и аргумент		комплексного числа		2	2		.
																							2	2
#5) r		1;						2					.

								3
5.8.6. Определите модуль r																			и аргумент		комплексного числа

z	1		i	3	5					5i .

#4) r		10			2;													.
#4) r		10			2;										12			.
5.8.7. Определите модуль r																			и аргумент		комплексного числа

z		3		i	1			i 3 .
#2) r		4;							.
#2) r		4;					6		.
5.8.8. Определите модуль r																			и аргумент		комплексного числа
z	2		2i		1							i		3			.


								3
								5
#3) r		4		2;				5								.

												12
5.8.9. Определите модуль r																			и аргумент		комплексного числа
z	1		i	3	1				i 3 .
#1) r		4;						.
																					, где	1 2i .
5.8.10. Вычислите определитель																				1	, где	1 2i .
																				1
#1) 6		2i .

5.8.11. Вычислите определитель																		1		, где					cos	i sin					.
5.8.11. Вычислите определитель																				, где					cos	i sin					.
																		1							3			3

#4)	1			i	3		.
#4)				2			.
				2
																	1			2									3					3
																				2
5.8.12. Вычислите определитель																								, где			cos					i sin			.
5.8.12. Вычислите определитель																				1	2			, где			cos					i sin		2	.
																				1	2									2				2
#5)	1			i .
5.8.13. Вычислите определитель																		z2		z	1		,		где z	1				cos			i sin			.
																		z2		z	1					1


																		z	1	i	1					2					4			4
#1)		1	.
#1)	2		.
	2
5.8.14. Вычислите определитель																		z		z3		, где z 1				2i .
																		z		z3
																		z	1	z3
#2)	11					2i .
5.8.15. Вычислите определитель																		z	1	z2				,	где z		2i	3		.
																		z	1	z2								3
																		z	1	z2	1
																		z	1	z2	1
#3) 1 8i .
5.8.16. Вычислите действительную																			Re z			и мнимую					Im z			части
комплексного числа												1	.
комплексного числа											1	i	.
											1	i
#1) Re z						Im z		1	.
#1) Re z						Im z		2	.
								2
5.8.17. Вычислите действительную																			Re z			и мнимую					Im z			части
комплексного числа 2												3i		1 i		2 .
#3) Re z						2; Im z				5.
5.8.18. Вычислите действительную																			Re z			и мнимую					Im z			части
комплексного числа 2												3i		1	6i .
#5)		Re z					16; Imz					3.
5.8.19. Вычислите действительную																			Re z			и мнимую					Im z			части
комплексного числа 3i 4														2i	2 .
#4) Re z						48; Im z					36.

5.8.20. Вычислите действительную																																									Re z						и мнимую								Im z			части
комплексного числа																																2i 3 .
комплексного числа																				2						2						2i 3 .

#2) Re z							22				2;					Im z						4				2 .
5.8.21. Вычислите действительную																																									Re z						и мнимую								Im z			части
комплексного числа																		1			4i				.
комплексного числа																									.
																			4					i
#5)	Re z					0; Imz													1.
5.8.22. Определите все комплексные решения уравнения z2																																																				4 .
#1)	z		2				cos									i sin						;				z						2					cos					3			i sin					3		.
#1)	z		2				cos									i sin						;				z			2			2					cos								i sin							.
	1										2								2										2											2										2
											2								2																					2										2
5)	Уравнение решений не имеет.
5.8.23. Определите все комплексные решения уравнения z2																																																				9.
#5)	z		3			cos										i sin						;				z						3				cos					3				i sin				3		.
#5)	z		3			cos										i sin						;				z			2			3				cos									i sin						.
	1										2								2										2											2										2
											2								2																					2										2
5.8.24. Определите все комплексные решения уравнения z4																																																				1.
#2) z1			1;			z2							1; z3						i; z4												i .
5.8.25. Определите все комплексные решения уравнения z3																																																				8 .
#3)		z	2					cos								i sin							;					z						2 cos											isin					;		z			2 cos			5			isin			5	.
#3)		z	2					cos								i sin							;					z		2				2 cos											isin					;		z			2 cos						isin				.
	1										3									3										2																						3					3				3
											3									3																																					3				3
5.8.26. Определите все комплексные решения уравнения z4																																																				1.
#5)	z				2					i				2	;			z									2							i			2		; z									2		i			2	; z					2	i		2	.
#5)	z									i					;			z	2															i					; z											i				; z		4				i			.
	1		2								2								2							2									2					3					2							2				4	2				2
			2								2															2									2										2							2					2				2
5.8.27. Определите все комплексные решения уравнения z2																																																				i .
#2)	z		cos									i sin							;	z						cos							5							i sin			5			.
#2)	z		cos									i sin							;	z		2				cos														i sin						.
	1						4									4						2										4												4
							4									4																4												4
																				5																		5						10
5.8.28. Вычислить																	cos			5												i sin						5							.
5.8.28. Вычислить																	cos															i sin													.
																						6																		6

#2)	1			i		3			.
#2)			2						.
			2

5.8.29. Вычислить

cos

i sin

#3) 1 .

5.8.30. Вычислить

cos

i sin

#4) i .

5.8.31. Вычислить i 647

i647

#5) 0.

5.9. Теория

5.9.1. Функция

x, y

называется гармонической в области D , если она

имеет в ней непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

2		2
#3)				0
	x2		y2

5.9.2. Функция w f z называется аналитической в точке z D , если она… #4) дифференцируема в ней и некоторой ее окрестности;

5.9.3. Функция называется аналитической в области D , если она …… #2) дифференцируема в каждой точке этой области;

5.9.4. Если z x iy , w f z u x, y iv x, y то в каждой точке дифференцируемости функции выполняются равенства (Коши - Римана)

#1)	u	v	;	u	v
	x	y		y	x

5.9.5. Для всякой аналитической функции f z производная f ' z выражается через частные производные функций

u u x, y и v v x, y

#5)	f '	z		u		i	v
#5)	f '	z		x		i	x
				x			x
5.9.6. По какой формуле вычисляют интеграл от функции
w	f	z	u x, y					iv x, y	комплексной переменной z x iy
# 3)		f	z dz			udx		vdy	i vdx udy
	Г				Г				Г

5.9.7. Если w f z	- аналитическая функция в односвязной области D, то
значение интеграла	f z dz

#4) не зависит от линии Г интегрирования, а только от координат начальной и конечной точки этой линии

5.9.8. Если функция w		f	z	является аналитической в односвязной области
D, содержащей точки z0 ,		z1 и		F	z - первообразная для функции w f z ,
то справедлива формула
z1
#2) f z dz F z1	F	z0
z0
5.9.9. Для всякой функции w				f	z аналитической в некоторой односвязной
области D, интеграл	f	z	dz	по любому замкнутому кусочно-гладкому
Г
контуру Г, целиком принадлежащему области D равен
#4) равен нулю
5.9.10. Если функция w		f	z	является аналитической в некоторой области

D, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, и на самом контуре, то верна интегральная формула Коши

#1)	f z0	1	f	z dz	, z0	D

		2 i Г	z	z0

5.9.11. Если функция w f						z является аналитической в некоторой области

D, ограниченной кусочно-гладким контуром Г, и на самом контуре, то для любого натурального n верна формула

#3) f n	z	n!		f	z	dz	, z		D
#3) f n	z				z )n 1		, z		D
	0	2 i	Г	(z	z )n 1			0
			Г		0
5.9.12. Функция w				f	z	,однозначная и аналитическая в точке z0 ,

разлагается в окрестности этой точки в ряд Тейлора.

#5) f z			c z		z	0	n
			n			0
		n 0
5.9.13. Функция w						f	z	ez при z	0 раскладывается в ряд Тейлора.
								0
#4) ez		zn
#4) ez		n!
n 0		n!
5.9.14. Функция w						f	z	sin z при z0	0 раскладывается в ряд Тейлора.
#2) sin z	1			n	z2n 1
#2) sin z	1				2n		1 !
	n 0				2n		1 !

5.9.15. Функция w				f		z		cos z при z0 0 раскладывается в ряд Тейлора.
#4) cos z	1	n	z2n
#4) cos z	1		2n !
	n 0		2n !
5.9.16. Функция w				f		z		ln 1 z при z0 0 раскладывается в ряд Тейлора.
#5) ln 1	z		1	n 1 zn
#5) ln 1	z		1				n
	n 1						n

5.9.17. Функция w				f		z		аналитическая в кольце 0 r	z z0	R
представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана
#1) f z	c z			z	0		n
	n				0

5.9.18. Изолированная особая точка z0 называется устранимой особой точкой функции w f z , если в разложении в ряд Лорана относительно этой

точки:

1) отсутствует правильная (регулярная) часть разложения

#2) отсутствует главная часть разложения

3)главная часть ряда Лорана содержит, лишь конечное число членов

4)) главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов

5) lim f z

z z0

5.9.19. Изолированная особая точка z0 называется полюсом функции w f z , если в разложении в ряд Лорана относительно этой точки:

#3) главная часть ряда Лорана содержит, лишь конечное число членов

5.9.20. Изолированная особая точка z0 называется существенно особой

точкой функции w		f z , если в разложении в ряд Лорана относительно
этой точки:
#4) главная часть ряда Лорана содержит бесконечное число членов
5.9.21. Вычетом функции w f z в изолированной особой точке z0
называется
#1) коэффициент c	1	в разложении в ряд Лорана	f z	c z	z	0	n
	1			n		0
				n
5) lim f z
z z0
5.9.22. Если z0 полюс порядка k , то вычет resf			z	функции w	f		z в
этой точке находится по формуле

#2)

resf z

lim

d k 1

[ f

z z

]

dzk

1 ! z z0

5.9.23. Вычетом функции w

в бесконечности

называется

#2) коэффициент

в разложении в ряд Лорана f

c z

5.9.24. Если функция w

аналитическая внутри замкнутого контура L

и на этом контуре за исключением конечного числа особых точек

z1, z2 ,...zn , внутри L , то

#5)

f z dz 2

res

k 1

5.9.25. Функция w f z является аналитической в бесконечно удаленной

	точке z		, если функция
#4)	f	1	аналитична в точке	0

Тема 6. Операционное исчисление

6.1. Нахождение изображений и оригиналов

6.1.1. Изображением функции t sin t является функция

2 p

#1) ( p2 2 )2 ;

6.1.2.Изображением функции 2sin3t 7e t cos3t t 4 является функция

# 4)	6	p	7	4 p 1	;

	p2	9	p 1	p2

6.1.3. Изображением функции t3e2t является функция

#5) p 2 4 .

6.1.4. Изображением функции f t	2,	0	t	3 является функция
	0,	t	3

2 1	e 3 p
# 2)		;

	p

(при решении задачи воспользоваться теоремой запаздывания или напрямую определением преобразования Лапласа).

6.1.5. Изображением функции

f (t)

sh t

является функция

#3)

;

6.1.6. Изображением функции te t sin

является функция

#5)

( p

)

6.1.7. Пусть f (t)

F( p);

f (0)

2, f '(0)

3, f ''(0) 7 . Тогда

изображением функции f '''(t)

является функция

#3) p3F( p)

2 p2

3p 7 ;

6.1.8.Оригиналом функции

является функция

p 3

#3)

t 2

;

6.1.9. Оригиналом функции

является функция

( p )2

#1) e t ch

t ;

6.1.10. Оригиналом функции

f ( p)

является функция

#1) cos 2t

sin 2t ;

6.1.11.Оригиналом функции

f ( p)

является функция

6 p

#5)

1 e 3t .

6.1.12. Оригиналом функции

f ( p)

Ap2

является функция вида

4 p2

4 p

#3) C

C t e2t ;

6.1.13.Оригиналом функции

f ( p)

e 2 p

является функция

#4) e 3(t 2)

2) ;

6.1.14. Оригиналом функции

f ( p)

5 p

является функция

#2) cos 4(t

5) (t

5) ;

6.1.15. Оригиналом функции				f ( p)	e	p	является функция

					p p	1
					p p	1
#3) et 1	(t 1)	(t	1) ;
6.1.16. Оригиналом функции				f ( p)	e 3 p		является функция
6.1.16. Оригиналом функции				f ( p)	p	1 2	является функция
					p	1 2
#1) (t	3)e (t 3)	(t	3) ;

6.1.17. С использованием теоремы об умножении (находя изображение и

затем оригинал) вычислите sin

cos

t :

#5)

t sin

6.1.18.Изображением функции et

e 2t

является функция

#2)

;

( p 1)( p

6.1.19.Изображением функции

sin(3t

3 )ch2 d является функция

#5)

3 p

6.1.20.Оригиналом функции

является функция

#4)

sin(

)ch

;

6.1.21.Свѐртка sin5t

e3t определяется как интеграл

#3)

sin5

e3(t )d

;

6.1.22.Оригиналом функции

является функция

#1)

cos 3t

ch3t

;

6.1.23.Оригиналом функции

является функция

#3)

sin 2t

sh2t

;

6.1.24.Оригиналом функции

является функция

( p

3)4

#3)

t3e 3t

;

6.1.25.Оригиналом функции		p2	25		является функция
6.1.25.Оригиналом функции	( p2		25)2		является функция
	( p2		25)2
#1) t cos5t ;
6.1.26. Оригиналом функции			p	9		является функция

		p	9 2		16
		p	9 2		16
#3) e9t ch4t ;

6.1.27. Используя определение преобразования Лапласа, найдите

		2,		t	1;5
изображение функции f ( t )
		0,		t	1;5 .
	2 e p	e 5 p
#1)			;
#1)			;
		p

6.1.28.Используя определение преобразования Лапласа, найдите изображение

функции			f ( t )	0,	t	2;7
функции			f ( t )	3,	t	2;7 .
				3,	t	2;7 .
#4)	3	1	e 7 p	e 2 p
#4)	3		p
			p

6.1.29.Изображение функции f (t) et 2

#5)Не существует, поскольку интеграл в преобразовании Лапласа расходится.

6.1.30. Оригиналом функции

является функция

#2)

e2t

e 3t

;

6.1.31. Оригиналом функции

является функция

#4) 3ch3t

2sh3t

6.1.32. Оригиналом функции

является функция

1 2

#5) 1

t e t .

6.1.33. Оригиналом функции

является функция

1 2 ( p

# 2)

e 2t

et 3tet ;

6.1.34. Оригиналом функции

является функция

2 p2

#3) 1

1 t e t ;

<<< < Предыдущая 12 / 52 3 4 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теория функций комплексного переменного

#
08.04.20221.32 Mб10Matan тест.pdf
#
08.04.202222.38 Кб6Оригиналы и некоторые их изображения.docx
#
08.04.202291.14 Кб9решение.doc
#
08.04.2022934.79 Кб25ТФКП Итоговый тест.pdf
#
08.04.202215.77 Mб35ТФКП Краснов 2003.pdf
#
08.04.20221.25 Mб41ТФКП тест.pdf