Matan тест
.pdfТема 5. Теория функции комплексного переменного. Производная и интеграл. Условия Коши-Римана
5.1. В каких точках заданная функция является дифференцируемой?
5.1.1. В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) z
#1) в каждой комплексной точке
5.1.2.В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) z
#4) ни в одной точке
5.1.3. В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) z 2
#2) лишь в точке z 0
5.1.4.В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) ez
#1) в каждой комплексной точке
5.1.5. В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) Re z
#4) ни в одной точке
5.1.6 В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) (Re z)2
#3) на мнимой оси
5.1.7. В каких точках заданная функция является дифференцируемой
f (z) |
1 |
|
|
||
z |
||
|
#5) всюду, кроме точки z 0
5.1.8. В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) z Im z
#2) лишь в точке z 0
5.1.9.В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) zez
#1) в каждой комплексной точке
5.1.10.В каких точках заданная функция является дифференцируемой
1
f (z) |
ez |
|
z |
||
|
#5) всюду, кроме точки z 0
5.1.11. В каких точках заданная функция является дифференцируемой f (z) (Re z)3
#3) на мнимой оси
5.1.12. В каких точках заданная функция является дифференцируемой
f (z) z 2 1 z
#4) ни в одной точке
5.1.13. В каких точках заданная функция является дифференцируемой
f (z) |
cos z |
|
|
||
z |
||
|
#5) всюду, кроме точки z 0
5.2. В каких точках заданная функция является аналитической?
5.2.1. В каких точках заданная функция является аналитической |
f (z) |
ez |
||||||||
#1) в каждой комплексной точке z |
|
|
|
|
|
|
||||
5.2.2. В каких точках заданная функция является аналитической |
f (z) |
|
z |
|||||||
#4) ни в одной точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.2.3. В каких точках заданная функция является аналитической |
f (z) |
|
z |
|
2 |
|||||
|
|
|||||||||
#4) ни в одной точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.2.4. В каких точках заданная функция является аналитической |
f (z) |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
#5) всюду, кроме точки z |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
5.2.5. В каких точках заданная функция является аналитической |
|
|
|
|
|
|
||||
f (z) |
z Re z |
|
|
|
|
|
|
|
||
#4) ни в одной точке |
|
|
|
|
|
|
|
|||
5.2.6. В каких точках заданная функция является аналитической |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
sin z |
, если z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
f z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, если z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
#5) всюду, кроме точки z |
0 |
|
|
|
|
|
|
2
5.2.7 В каких точках заданная функция является аналитической
|
sin z |
, если z 0 |
|
f z |
z |
||
|
1, если z 0
#1) в каждой комплексной точке
5.2.8 В каких точках заданная функция является аналитической
f z |
ez |
|
z2 1 |
||
|
#4) всюду, кроме точек z1 i и z2 i
5.2.9. В каких точках заданная функция является аналитической
f z |
z |
2 |
|
|
|
||
z2 |
2z 5 |
||
|
#2) всюду, кроме точек z1 1 2i и z2 1 2i
5.2.10 В каких точках заданная функция является аналитической
f z |
z2 |
4z |
5 |
|
z2 |
5z |
4 |
||
|
#3) всюду, кроме точек z1 1 и z2 4
5.3. Найти интеграл от заданной функции по заданному контуру. Обход осуществляется против часовой стрелки.
5.3.1. Вычислить |
f |
z |
dz , f (z) |
|
sin z |
по контуру | z | |
1 |
|
|||||||
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
#1) 2 i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.3.2. Вычислить |
f z |
dz , f (z) |
|
|
ez |
|
|
|
|
|
по контуру | z |
2 | |
1 |
||
(z2 |
1) |
||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
#5) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.3. Вычислить |
f |
z |
dz , f (z) |
|
cos z |
по контуру | z | |
|
|
|||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
#1) 2 i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.4. Вычислить |
f |
z |
dz , f (z) |
|
|
ez2 |
|
|
по контуру | z |
2 | |
2 |
||||
|
|
z |
1 |
|
|||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
#2) 2e i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3.5. Вычислить |
f |
z |
dz , f (z) |
|
|
z |
|
|
|
|
|
по контуру | z |
2 | |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
#3) |
|
4 i ; |
|
|
|
|
|
5.3.6. Вычислить |
f |
z |
|
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#5) 0 |
|
|
|
|
|
||
5.3.7. Вычислить |
f |
z |
|
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#4) |
|
cos1 i |
sin1; |
|
|
||
5.3.8. Вычислить |
f |
z |
|
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#5) 0 |
|
|
|
|
|
||
5.3.9. Вычислить |
f |
z |
|
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#1) 2 i ; |
|
|
|
|
|||
5.3.10. Вычислить |
|
f |
z |
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#5) 0 |
|
|
|
|
|
||
5.3.11. Вычислить |
|
f |
z |
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#2) 2 i ; |
|
|
|
|
|||
5.3.12. Вычислить |
|
f |
z |
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#3) |
2 i ; |
|
|
|
|
||
5.3.13. Вычислить |
|
f |
z |
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#4) |
|
i |
; |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
5.3.14. Вычислить |
|
f |
z |
dz , f (z) |
|||
|
|
|
|
L |
|
|
|
#5) 2i e |
|
|
|
|
5.3.15. Вычислить |
f |
z |
dz , f (z) |
|
L |
|
|
#3) 2 i ; |
|
|
|
5.3.16. Вычислить |
f |
z |
dz , f (z) |
|
L |
|
|
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по контуру | z | |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ez |
|
|
|
|
|
|
|
по контуру | z |
i | |
1 |
|
|
||||||||||||||||
z2 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по контуру | z |
2 | |
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
z2 |
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
cos 2z |
по контуру | z |
3 | |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ez3 |
|
по контуру | z | 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
z2 |
9 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
ei |
z |
по контуру | z |
1| |
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
|
|
по контуру |
z |
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin 2z |
|
по контуру |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
4z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e z |
1 |
|
|
|
по контуру |
|
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||
2z |
|
|
по контуру |
|
z |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
1 |
|
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos z |
|
|
по контуру |
|
z |
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4
#2) 2 i ;
5.3.17. Вычислить |
f |
z dz , |
f (z) |
|
e1/ z |
|
по контуру |
|
z |
3 |
|
|
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
z 1 |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
#5) 2i |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
5.3.18. Вычислить |
f |
z dz , |
f (z) |
|
cos z |
|
по контуру |
|
z 1 |
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4z |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#1) |
i |
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.4.Определение особых точек
5.4.1.Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
функции f (z) cos 1z
#5) z 0 – существенно особая точка
5.4.2.Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
функции |
f (z) |
sin z |
|
|
|||
z2 |
|||
|
|
#2) в точке z 0 полюс первого порядка
5.4.3. Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
функции |
f (z) |
ez |
|
z2 |
|||
|
|
#3) в точке z 0 полюс второго порядка
5.4.4. Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
функции |
f (z) |
1 cos z |
|
|
|||
z2 |
|||
|
|
#1) z 0 – правильная точка
5,4.5. Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
функции |
f (z) |
z |
|
|
|||
(z 1)2 |
|||
|
|
#4) в точке z 1 полюс второго порядка
5,4.6. Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
функции f z
sin z
z
#1) z 0 – правильная точка
5
5,4.7. Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
1
функции f z e z
#5) z 0 – существенно особая точка
5.4.8. Определить характер особой точки и саму особую точку для заданной
Функции f |
z |
|
ez |
1 |
|
|
z2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
#2) в точке z |
|
0 полюс первого порядка |
|
|
|
|
5.5. Нахождение вычетов |
|||
5.5.1. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
, f (z) |
||||
#5) 2 |
|
|
|
|
|
|
|
5.5.2. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
, f (z) |
||||
#1) |
1; |
|
|
|
|||
5.5.3. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
, f (z) |
||||
#4) 1; |
|
|
|
|
|
||
5.5.4. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
, f (z) |
||||
#2) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
5.5.5. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
, f (z) |
||||
#3) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5.5.6. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
f (z) |
||||
#2) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
5.5.7. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
f (z) |
||||
#3) |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
5.5.8. Найти вычет функции |
f (z) в точке z |
0 |
f (z) |
||||
#1) |
1; |
|
|
|
z 2
z
z3 3z2 z 2
z2
1
e z
z2 sin 1z
z cos 1z
z2 z 1
6z
z4 3z3 2z2 z 1
4z3
1
e z
5.6. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
6
5.6.1. Найти |
f (z)dz |
для заданной функции, |
f (z) |
||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#2) 0; |
|
|
|
|
|
5.6.2. Найти |
f (z)dz |
для заданной функции, |
f (z) |
||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#5) 2 i |
|
|
|||
5.6.3. Найти |
f (z)dz |
для заданной функции, |
f (z) |
||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#2) 0; |
|
|
|
|
|
5.6.4. Найти |
f (z)dz для заданной функции, |
f (z) |
|||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#3) |
i |
; |
|
|
|
3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5.6.5. Найти |
f (z)dz |
для заданной функции, |
f (z) |
||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#1) |
|
|
i ; |
|
|
5.6.6. Найти |
f (z)dz для заданной функции, |
f (z) |
|||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#4) |
i ; |
|
|
||
5.6.7. Найти |
f (z)dz |
для заданной функции, |
f (z) |
||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#4) |
i ; |
|
|
||
5.6.8. Найти |
f (z)dz для заданной функции, |
f (z) |
|||
|
|
|
|z| 1 |
|
|
#1) |
|
|
i ; |
|
|
1
z2
sin z
z2
1 cos z
z2
1
z2e z
cos z
z3
ez
z3
1cos z z3
1
ze 2 z2
5.7.Разложение функции в ряды Тейлора и Лорана
5.7.1.Разложить в ряд Лорана указанную функцию f (z) по степеням z в
заданной области |
f (z) |
|
1 |
|
|
z | |
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
z |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
#3) ( 1)n zn ;
n0
5.7.2.Разложить в ряд Лорана указанную функцию f (z) по степеням z в
заданной области |
f (z) |
|
1 |
|
|
z | |
|
z |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
|
1 |
||||||||||
#4) |
( 1)n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
zn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7.3. Разложить в ряд Лорана указанную функцию f (z) по степеням z в
7
заданной области |
f (z) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z | |
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
#1) |
|
|
|
zn |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
n 0 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.7.4. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
|
|
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
f (z) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
z | |
|
z |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
#5) |
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 0 zn 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.7.5. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
|
|
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
f (z) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z | 0 |
|
|
|
|
z |
|
1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
z(z |
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
#2) |
1 |
|
|
|
|
|
( 1)n 1 zn |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z |
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
5.7.6. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
|
|
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
f (z) |
|
sin z |
|
|
|
|
z | 0 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
#4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2n 1 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 0 |
(2n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.7.7. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
|
|
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
f (z) |
cos z |
|
|
|
|
z | 0 |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
#3) |
|
|
|
( 1)n |
z2n 4 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n 0 |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.7.8. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
|
|
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
заданной области |
f (z) |
ze z |
|
|
|
|
|
|
|
z | |
z |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
#5) |
|
|
|
1 |
z1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 0 |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5.7.9. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
|
|
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (z) |
z2 sin |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
z | |
z |
|
0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
( |
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
#1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n 0 |
(2n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.7.10. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (z) |
z3 cos |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
z | |
z |
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
#2) |
|
|
|
( 1)n |
z3 2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n 0 |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5.7.11. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z 1 в |
заданной области
8
f (z) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
#3) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 n 1 z |
|
1 n ; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
1 |
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5.7.12. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
#1) |
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7.13. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
#4) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
z 1 |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.7.14. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z2 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
1 n |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
#5) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2 z |
1 |
|
|
|
|
n |
0 |
|
|
2n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.7.15. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
#2) |
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
|
z |
1 n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.7.16. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
1 в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
f (z) |
|
|
|
|
sin |
|
z |
1 |
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
0 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z |
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
#5) |
|
|
|
|
|
|
|
1 n |
z |
1 2n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
1 ! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9
5.7.17. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
|
1 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f (z) |
|
|
cos |
z |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
|
z 1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
z |
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
#3) |
|
|
|
( 1)n |
z |
1 |
|
2n |
|
4 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n 0 |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.7.18. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
|
1 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|
z 1 e z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(z 1) | |
z 1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
#2) |
|
|
|
|
|
z |
1 1 n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
n 0 |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5.7.19. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
|
1 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f (z) |
|
|
z |
|
1 2 sin |
1 |
|
|
|
|
|
(z |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1) | |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
|
1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
#1) |
|
|
|
|
z |
1 |
1 2n |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
n 0 (2n |
1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
5.7.20. Разложить в ряд Лорана указанную функцию |
f (z) по степеням z |
|
1 в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
заданной области |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
f (z) |
|
|
z |
|
1 3 cos |
|
1 |
|
|
|
|
(z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1) | |
z |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( 1)n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
#4) |
|
|
|
(z |
1)3 2n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
n 0 |
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.8 Комплексные числа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
5.8.1. Определите модуль |
|
r |
|
|
|
и аргумент |
|
|
комплексного числа z |
1 |
|
i |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i |
|
|
||||
#2) r |
1; |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5.8.2. Определите модуль r |
|
|
|
и аргумент |
|
|
комплексного числа z |
|
|
|
1 |
i |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
i |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
#3) r |
|
2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |