13.7. Реализация полосовых фильтров второго порядка

Включим последовательно фильтры нижних и верхних частот первого порядка, как показано на рис. 13.25. В результате получим полосовой фильтр с передаточной функцией

Учитывая, что резонансная частота wr = 1/RC, запишем эту передаточную функцию в нормированном виде:

Приравняв коэффициенты последнего вы­ражения к коэффициентам передаточной функции (13.24), получим формулу для вы­числения добротности фильтра:

При  = 1 максимальное значение Q = 1/2. Таким образом, это максимальная величина добротности, которая может быть получена в результате последователь­ного соединения фильтров первого поряд­ка. Для больших значений добротности знаменатель передаточной функции (13,24) должен иметь комплексные корни. Однако такая передаточная функция может быть реализована только с помощью спе­циальных активных RC-цепей, о которых речь пойдет ниже.

13.7.1. RС-ФИЛЬТР

Обычный метод реализации селек­тивных фильтров с высокой добротностью состоит в применении колебательных кон­туров. На рис. 13.26 приведена схема пас­сивного LRС- фильтра. Его передаточная функция равна

Учитывая, что резонансная частота , запишем последнее выражение в следующем виде:

Отсюда с учетом формулы (13.24) получим

В области высоких частот индуктивность с малыми потерями может быть выполне­на достаточно просто. В области низких частот индуктивности оказываются слиш­ком большими и обладают плохими элек­трическими характеристиками. Например, для полосового фильтра по схеме рис. 13.16 с резонансной частотой fr = 10 Гц необходимы конденсатор С = 10 мкф и индуктивность L = 25,3 Гн. Как уже отмечалось в разд. 13.4.1, эквивалент такой индуктивности может быть получен с по­мощью гиратора. Однако с точки зрения схемной реализации гораздо проще передаточную функцию (13.24) реализовать с помощью операционного усилителя с ча­стотно-зависимой обратной RC-связью.

Рис. 13.25. Полосовой фильтр, по­строенный на основе фильтров ниж­них и верхних частот первого порядка.

Рис. 13.26. LRС- полосовой фильтр.

13.7.2. ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР СО СЛОЖНОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Сложную отрицательную обратную связь можно использовать и для построе­ния полосовых фильтров. Соответствую­щая схема фильтра приведена на рис. 13.27. Ее передаточная функция имеет следующий вид:

Из сравнения этого выражения с пере­даточной функцией (13.24) следует, что коэффициент при P² должен быть равен 1. Отсюда находим резонансную частоту:

Подставив это выражение для резонансной частоты в передаточную функцию и при­равняв соответствующие коэффициенты к коэффициентам выражения (13.24), полу­чим остальные формулы для вычисления характеристик фильтра:

из которых видно, что коэффициент пере­дачи, добротность и резонансная частота рассматриваемого полосового фильтра мо­гут выбираться произвольно.

Выражение для полосы пропускания фильтра получим из формулы (13.32):

Таким образом, величина В не зависит от R₁ и R₃. Из формулы (13.31) следует, что Ar не зависит от R₃. Поэтому можно изме­нять резонансную частоту fr, варьируя ве­личину сопротивления R₃, что не приводит к изменению коэффициента передачи Аr и ширины полосы пропускания фильтра.

Схема останется работоспособной, если исключить сопротивление Rз, однако при этом ее добротность будет зависеть от коэффициента передачи Аr. Это следует из формулы (13.32) при Rз :

Рис. 13,27, Полосовой фильтр со сложной отри­цательной обратной связью.

При этом, если коэффициент обратной свя­зи значительно больше единицы, диффе­ренциальный коэффициент усиления опера­ционного усилителя должен быть больше 2Q². С помощью резистора R₃ можно до­биться также высокой добротности филь­тра при малом коэффициенте передачи Ar. Как видно из рис. 13.17, снижение коэффи­циента передачи фильтра с помощью рези­стора R₃ определяется лишь ослаблением входного сигнала делителем напряжения R₁, R₃. Поэтому коэффициент усиления операционного усилителя при отсутствии нагрузки должен превышать 2Q². Выполне­ние этого требования особенно важно по­тому, что оно должно удовлетворяться и на резонансной частоте. Об этом следует помнить при выборе операционного усилителя для фильтра, особенно при работе в высокочастотном диапазоне.

Рассмотрим числовой пример расчета схемы фильтра. Пусть необходимо по­строить селективный фильтр с резонансной частотой fr = 10 Гц и добротностью Q = 100. Его частоты среза примерно соста­вляют 9,95 Гц и 10,05 Гц. Коэффициент передачи на резонансной частоте Аr дол­жен быть равен —10. Зададим произволь­но значение емкости конденсатора С, на­пример С = 1 мкФ. Тогда из формулы (13.32) получим

Дифференциальный коэффициент усиления операционного усилителя на резонансной частоте должен быть больше 2Q² = 20000.

Рассмотренная схема обладает тем пре­имуществом, что она не склонна к генера­ции на резонансной частоте при недоста­точно точно рассчитанных значениях эле­ментов. Предполагается, конечно, что опе­рационный усилитель имеет необходимую частотную коррекцию; в противном случае может возникнуть высокочастотная генера­ция.

13.7.3. ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Применение положительной обратной связи для построения схемы полосового фильтра иллюстрируется рис. 13.28. С по­мощью делителя напряжения R₁ и (k - l)R₁ отрицательной обратной связи за­дается коэффициент усиления операцион­ного усилителя, равный k. Передаточная функция фильтра имеет вид

Приравнивая коэффициенты этого выражения к коэффициентам передаточной функ­ции (13.24), получим формулы для расчета параметров фильтра, которые приведены под рис. 13.28.

Недостаток схемы состоит в том. что Аr и Q не являются независимыми друг от друга. Достоинством схемы следует счи­тать то, что ее добротность изменяется в зависимости от k, тогда как резонансная частота от коэффициента k не зависит.

При k = 3 коэффициент усиления ста­новится бесконечно большим и возникает генерация. Точность установки значения коэффициента тем критичнее, чем он бли­же к 3.

13.7.4. ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР С ОМИЧЕСКОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

В разд. 13.4.4 было показано, что на вы­соких частотах операционный усилитель может использоваться как частотно-зави­симое звено. С учетом этого строят не только фильтры нижних частот, но и поло­совые фильтры. Для этого можно исполь­зовать схему, двухкаскадного фильтра ниж­них частот, приведенную на рис. 13.18, счи­тая напряжение U₁ выходным сигналом схемы. Для определения передаточной функции полосового фильтра используем передаточную функцию фильтра нижних частот (13.18) и зависимость между Ua и U₁. Из формулы 13.15) следует, что

Подставив это выражение в формулу (13.18), получим передаточную функцию для U₁:

Приравняв коэффициенты последнего вы­ражения к коэффициентам передаточной функции (13.24), получим следующие соотношения для параметров фильтра:

Рис. 13.28. Полосовой фильтр с поло­жительной связью.

При расчете фильтра воспользуемся со­ображениями, изложенными в разд. 13.44:

отношение fr/f_T должно примерно равнять­ся 0,1  0,2 и  должно составлять прибли­зительно 0,010,1. Зададим далее величи­ну сопротивления R₁ и по формуле (13.34) вычислим R₂. Затем выберем fr/f_T Исполь­зуя формулы (13.34) и (13.35), подучим вы­ражения для  и R₃:

Если вычисленное значение  оказывается отличным от заданного, следует изменить соответствующим образом величину от­ношения fr/f_T или коэффициент переда­чи Ar.

Рассмотрим числовой пример расчета полосового фильтра. Необходимо рассчи­тать полосовой фильтр с fr = 100 кГц, Q = 3 и Аr = — 5. Выбираем R₁ = 1,5 кОм и получаем R₂ = 7,5 кОм. Далее полагаем fr/f_T == 0,2, чему соответствует f_T = 500 кГц. После этого определяем  = 0,067 и R₃ = 833 Ом..