13.6. Преобразование фильтра нижних частот в полосовой фильтр

В разд. 13.2 было показано, как путем замены переменных преобразовать амплитудно-частотную характеристику фильтров нижних частот в амплитудно-частотную характеристику фильтров верхних частот. С помощью подобного же преобразования можно получить амплитудно-частотную характеристику полосового фильтра, для чего в передаточной функции фильтра нижних частот необходимо провести сле­дующую замену переменных:

В результате такого преобразования ам­плитудная характеристика фильтра нижних частот в диапазоне 0    1 переходит в правую часть полосы пропускания поло­сового фильтра (1   макс). Левая часть полосы пропускания является зер­кальным отображением в логарифмиче­ском масштабе правой части относительно средней частоты полосового фильтра  =1. При этом мин =1/макс [13.7]. Рис. 13.22 иллюстрирует такое преобразование.

Нормированная ширина полосы пропу­скания фильтра  = макс - мин может выбираться произвольно. Из рис. 13.22 видно, что полосовой фильтр на частотах мин и макс обладает таким же коэффи­циентом передачи, что и фильтр нижних частот при  = 1. Если параметры филь­тра нижних частот нормированы относи­тельно частоты среза, на которой его коэф­фициент передачи уменьшается на 3 дБ, то значение  также будет нормированной шириной пропускания. Учитывая, что

Рис. 13.23. „Иллюстрация преобразования нижних частот в полосу частот.

получим выражение для вычисления нор­мированных частот среза полосового фильтра, на которых его коэффициент передачи уменьшается на 3 дБ:

13.6.1. ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР ВТОРОГО ПОРЯДКА

Простейший полосовой фильтр можно получить, применив преобразование (13.21) к передаточной функции фильтра нижних частот первого порядка:

При этом передаточная функция полосово­го фильтра будет иметь второй порядок:

Основными характеристиками такого фильтра являются коэффициент передачи Ar, на резонансной частоте и добротность Q. Исходя из свойств рассмотренного пре­образования, можно заключить, что Ar = A₀. Это легко подтвердить, положив в формуле (13.22)  = 1, т,е. P= j. По­скольку при этом Ar, имеет действительное значение, фазовый сдвиг на резонансной частоте полосового фильтра будет равен нулю.

По аналогии с колебательным конту­ром определим добротность полосового фильтра как отношение резонансной ча­стоты fr к ширине полосы В. Отсюда сле­дует, что

Подставив выражение для добротности в соотношение (13.22), получим передаточ­ную функцию полосового фильтра

Это выражение дает возможность опреде­лить основные параметры полосового фильтра второго порядка непосредственно из его передаточной функции.

Подставив в выражение (13.24) Р = j , получим амплитудную и фазовую ча­стотные характеристики:

Логарифмические амплитудно- и фазово-частотные характеристики полосовых фильтров, добротность которых равна 1 и 10, изображены на рис. 13.23.

Рис. 13.23. Амплитудно- и фазово- частотные характеристики полосовых фильтров второго порядка с добротностью Q=1 и Q = 10.

Рис. 13.24. Амплитудно- и фазово-частотные характе­ристики полосовых фильтров с  = 1.

1 -фильтр Баттерворта четвертого по­рядка;

2-фильтр Чебышева четвертого порядка с неравномерностью 0,5дБ;

3- полосовой фильтр второго порядка.

13.6.2. ПОЛОСОВОЙ ФИЛЬТР ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

В полосовых фильтрах второго порядка амплитудно-частотная характеристика тем острее, чем больше величина их добротно­сти. Существуют, однако, случаи, когда в окрестности резонансной, частоты необ­ходимо получить возможно более плоскую характеристику с крутым спадом за поло­сой прозрачности. Такая задача оптимиза­ции может быть решена путем преобразо­вания фильтров нижних частот более высо­кого порядка в полосовые. При этом предоставляется возможность кроме ши­рины полосы  задать и желаемый вид частотной характеристики.

Особое значение имеет применение рас­смотренного ранее преобразования к филь­трам нижних частот второго порядка. Оно приводит к описанию полосовых фильтров четвертого порядка, которые ниже будут рассмотрены более подробно. Подставив (13.21) в уравнение фильтра нижних частот второго порядка (13.17), получим следую­щую передаточную функцию четвертого порядка:

Отсюда видно, что амплитудно-частотная характеристика фильтра на нижних и верх­них частотах стремится к асимптотам ± 12 дБ на октаву. На средней частоте  = 1 коэффициент передачи фильтра имеет действительное значение Аm = А₀.

На рис. 13.24 приведены амплитудно- и фазово-частотные характеристики при нор­мированном значении  = 1 для полосо­вого фильтра Баттерворта и полосового фильтра Чебышева с неравномерностью характеристики» равной 0,5 дБ. Для сравне­ния представлены частотные характеристи­ки полосового фильтра второго порядка с такой же полосой пропускания.

Как и в случае фильтров нижних ча­стот, для облегчения реализации разложим знаменатель передаточной функции (13.25) на множители. Из соображений симметрии выберем следующее упрощенное предста­вление:

Перемножив сомножители в знаменате­ле и приравняв результат знаменателю передаточной функции (13.25), получим уравнение для определения параметра ее:

Это уравнение в каждом конкретном слу­чае может быть легко решено численно с помощью калькулятора. Определив пара­метр , можно вычислить добротность по­люсов звеньев фильтра Qi:

В зависимости от того, как будет раз­ложен числитель передаточной функции полосового фильтра, мы получим два спо­соба его реализации. Если представить числитель в виде произведения постоянно­го множителя и множителя, содержащего Р², то это будет соответствовать последо­вательному соединению фильтра верхних частот и фильтра нижних частот. Такой способ реализации применяется в основ­ном при достаточно широкой полосе про­пускания фильтра .

При узкополосном фильтре (  1) лучше применять последовательное соеди­нение двух полосовых фильтров второго порядка, которые имеют небольшой сдвиг частотных характеристик. Такой способ на­зывают «расстройкой контуров».

Для расчета полосового фильтра пред­ставим числитель выражения (13.26) в виде произведения двух сомножителей, содержа­щих Р:

Приравняв коэффициенты выражений (13.26) и (13.24), получим формулы для рас­чета параметров звеньев фильтра (табл. 13.8):

Здесь fm- средняя частота результирую­щего полосового фильтра, а Аm- коэффициент передачи на этой часто­те. Значения параметров  и Qi могут быть получены из соотношений (13.27) и (13.28).

Рассмотрим пример расчета одного звена фильтра. Пусть нужно рассчитать полосовой фильтр Баттерворта с частотой fm = 1 кГп и шириной полосы 100 Гц. Коэффициент передачи на средней частоте Am должен быть равен 1. Сначала возьмем из табл. 13.6 коэффициенты для фильтра Баттерворта нижних частот второго по­рядка: a₁ = 1,4142 и b₁, = 1. Для заданной нормированной полосы пропускания  = 0,1 из уравнения (13.27) получим  = 1,0360. Из формулы (13.28) следует, что в этом случае Qi = 14,15. Используя табл. 13.8, рассчитаем остальные пара­метры: Ar = 1,415, fr₁ = 965 Гц и fr₂ = 1,036 кГц.