11.6. Решение дифференциальных уравнений

Многие задачи описываются простыми дифференциальными уравнениями. Реше­ние таких задач можно провести, реализуя исходное дифференциальное уравнение с помощью описанных аналоговых схем и измеряя установившееся выходное на­пряжение. Чтобы не возникало проблемы устойчивости, следует так преобразовать исходное дифференциальное уравнение, чтобы можно было вместо дифференциа­торов применять только интеграторы.

Поясним предлагаемый метод на при­мере следующего линейного дифферен­циального уравнения второго порядка:

Первый шаг состоит в замене независимой переменной х на время t:

На основании правил дифференциального исчисления запишем

После подстановки производных в исход­ное уравнение (11.15) получим

Далее разрешим уравнение относительно производных:

Следующий шаг состоит в умножении обеих частей уравнения на (— 1/) и инте­грировании:

Стоящее слева от знака равенства выражение можно реализовать с помощью про­стого суммирующего интегратора. Его вы­ходное напряжение является переменной состояния zn, где n- порядок дифферен­циального уравнения, в данном случае равный двум. Таким образом

Будем пока считать, что выходная величи­на у известна.

Из формул (11.18) и (11.17) следует, что

Это дифференциальное уравнение можно решить аналогично уравнению (11.16). При этом получим

Левая часть этого уравнения является переменной состояния z₁:

Это выражение можно реализовать с по­мощью второго суммирующего интеграто­ра. Подстановка выражения (11.21) в (11.20) дает уравнение для выходного сигнала:

Поскольку здесь нет производных, преоб­разования закончены.

Рис. 11.17. Граф для решения дифференциального уравнения

Рис. 11.18. Аналоговая схема решения дифференциального уравнения.

Необходимые для решения дифферен­циального уравнения вычислительные опе­рации [формулы (11.18), (11.21) и (11.22)] можно наглядно представить в виде графа (рис. 11.17). Соответствующая этому графу аналоговая схема показана на рис. 11.18. Для того чтобы исключить из схемы до­полнительный инвертирующий усилитель, предназначенный для получения выраже­ния – k₁y в формуле (11.21), было учтено, что z₁ = - у из (11.22).

11.7. Функциональные преобразователи

Часто возникает необходимость сфор­мировать такое напряжение U₂, которое было бы функцией напряжения U₁, т. е. U₂ =f (U₁), где функция/произвольна, на­пример

или

Следует отметить, что зависимость между напряжениями может также быть задана в форме диаграмм или таблиц.

Для реализации таких зависимостей су­ществуют три возможных способа. Можно применять либо физические эффекты, ко­торые позволяют реализовать заданные зависимости, либо аппроксимировать их полиномиальными или степенными ряда­ми. Ниже будет дано несколько примеров применения этих способов.

11.7.1. ЛОГАРИФМ

Логарифмический усилитель предназна­чен для получения выходного напряжения, которое пропорционально логарифму входного напряжения. Для этого можно использовать

Рис. 11.19. Схема логарифмирования с диодом.

характеристику диода, кото­рая описывается следующим выражением:

где Is- статический обратный ток; Uт— термический потенциал kT/e₀; m-корректи­рующий множитель (1 < m < 2). В рабочей области, где выполняется условие Ia  Is, с достаточной степенью точности можно считать, что

Отсюда следует, что

является искомой логарифмической функ­цией. Наиболее простой способ реализации этого соотношения состоит в использова­нии операционного усилителя с диодом в цеди обратной связи (рис. 11.19). Опера­ционный усилитель преобразует входное напряжение Ue в ток Ia=Ue/R₁ и одно­временно выдает выходное напряжение Ua = - U_AK. При этом

(при комнатной температуре).

Диапазон возможных рабочих напряжений ограничен двумя специфическими свой­ствами диодов. Они обладают паразитным омическим сопротивлением, на котором при большом токе падает существенное напряжение, приводящее к искажению ло­гарифмической характеристики. Кроме то­го, множитель m зависит от тока. Поэтому удовлетворительная точность в этой схеме может быть получена при изменении вход­ного напряжения в пределах двух декад.

Рис. 11.20. Схема логарифмирования с транзи­стором.

Влияние множителя m можно исклю­чить, применив вместо диода D транзистор Т (рис. 11.20). Для коллекторного тока транзистора (при Ucb = 0) справедливо со­отношение

Из [11.1] следует, что зависимости параме­тров  и m от тока взаимно компенси­руются. В этом случае можно записать

При этом коэффициент  имеет слабую за­висимость от тока, а его величина пример­но равна 1. Тогда для Ube > 0 справедливо следующее соотношение:

Отсюда получим

С учетом этого выражения выходное на­пряжение логарифмического усилителя с транзистором будет иметь вид

Поскольку зависящий от величины тока коэффициент отсутствует, этот логарифми­ческий усилитель обладает гораздо более широким диапазоном рабочих токов, чем предыдущий. При надлежащем выборе транзистора коллекторный ток может принимать значения от пикоампер до мил­лиампер, т.е. диапазон его изменения со­ставляет девять декад. Для построения ло­гарифмирующих усилителей следует при­менять операционные усилители с очень малыми входными токами, чтобы пол­ностью использовать этот диапазон.

Транзистор Т повышает усиление цепи обратной связи устройства на величину своего коэффициента усиления. При этом схема становится склонной к генерации. Усиление по напряжению транзистора можно легко снизить, включив дополни­тельный резистор R_E в цепь его эмиттера (рис. 11.21). При выборе номинала этого резистора следует исходить из того, чтобы выход операционного усилителя не пере­гружался при максимальном значении вы­ходного тока. Конденсатор С обеспечивает увеличение устойчивости схемы благодаря введению дифференцирующей отрицатель­ной обратной связи. При этом надо всегда помнить, что верхняя граничная частота вследствие нелинейности характеристик транзистора снижается пропорционально величине выходного тока.

Основной недостаток описанного лога­рифмирующего усилителя состоит а весь­ма большой нестабильности его парамет­ров. Это происходит из-за того, что Ut и Ues сильно меняются с изменением тем­пературы. При изменении температуры от 20 до 50°С напряжение Ut возрастает на 10%, тогда как обратный ток изменяется почти в 10 раз. Влияние обратного тока можно исключить, если сформировать дифференциальную схему с дополни­тельным логарифмирующим усилителем (рис. 11.22), В этой схеме дифференциальный усилитель на транзисторах T₁ и Т₂ служит для логарифмирования. Для уяс­нения принципа действия схемы рассмо­трим распределение токов в дифференциальном каскаде. На основании второго закона Кирхгофа запишем

Из передаточных характеристик транзисто­ров следует что

Рис. 11.21. Дополнительная частотная коррек­ция схемы логарифмирования.

Отсюда можно получить

Из схемы на рис. 11.22 получим сле­дующие соотношения:

Рис. 11.21 Температурная компенсация схемы логарифмирования.

где резистор R₄ не должен быть высокоомным. В результате получим выраже­ние для выходного напряжения

Величина сопротивления резистора R₅ в это выражение не входит. Этот резистор выбирают таким, чтобы падение напряже­ния на нем не превышало выходного на­пряжения операционного усилителя ОУ 2. Частотную коррекцию обоих усилителей следует выполнять, как в предыдущей схе­ме. Конденсаторы С₁ и С₂ используются для дополнительной частотной коррекции.

Компенсация температурной зависимо­сти U_T выполняется с помощью резистора R₄, имеющего положительный темпера­турный коэффициент порядка 0,3%/К.

11.7.2. ЭКСПОНЕНТА

На рис. 11.23 показана схема функцио­нального генератора, реализующего функцию ехр. Она аналогична схеме логариф­мирующего усилителя (рис. 11.20). При наличии отрицательного входного напря­жения через транзистор будет течь ток, соответствующий формуле (11.27):

а на выходе функционального генератора появится напряжение

Как и в случае логарифмирующего уси­лителя, изображенного на рис. 11.22, для улучшения температурной стабильности предлагается использовать дифферен­циальную схему включения (рис. 11.24). Из формулы (11.29) следует, что

Используя схему рис. 11.24, получим сле­дующие соотношения для токов и напря­жений:

Произведя подстановку этих трех выраже­ний в предыдущее выражение, получим формулу, описывающую выходное напря­жение экспоненциального преобразовате­ля:

Рис. 11.23. Простой экспоненциальный генера­тор.

Следует отметить, что ток I_ES в формулу не входит, если подобрана пара транзисто­ров с достаточно близкими параметрами. Сопротивление резистора R₅, также не вхо­дящее в формулу, служит для ограничения тока через дифференциальный каскад на транзисторах Т₁ а Т₂. Величина этого тока не влияет на результат, пока опера­ционный усилитель ОУ 2 работает в пре­делах своего динамического диапазона.

Рис. 11.24. Экспоненциальный генератор с термокомпенсацией.

Описанные выше экспоненциальные преобразователи позволяют представить результат в следующей форме:

Используя известное математическое соот­ношение

можно получить аналогичные функции с любым основанием b:

Для этого входной сигнал х следует снача­ла усилить, задав коэффициент усиления, равный ln b, а затем подать на экспонен­циальный преобразователь.

11.7.3. ВЫЧИСЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМОВ