13.4. Реализация фильтров нижних и верхних частот второго порядка

На основании выражения (13.11) запи­шем в общем виде передаточную функцию фильтра нижних частот второго порядка:

Как следует из табл. 13.6, оптимальные передаточные функции второго и более вы­сокого порядка характеризуются наличием комплексно-сопряженных полюсов. В разд. 13,1 было отмечено, что такие передаточные функции не могут быть ре­ализованы с помощью пассивных RС- цепей. Один из способов реализации подоб­ных фильтров состоит в применении индуктивностей, как показано в следующем разделе.

13.4.1.LRС-ФИЛЬТР

Запишем передаточную функцию цепи, изображенной на рис. 13.14:

Для расчета значений R и С с учетом (13.17) получим следующие формулы:

Для фильтра нижних частот второго по­рядка типа фильтра Баттерворта коэффи­циенты равны a₁=1,414 и b₁=1,000 (см. табл. 13.6). Задав частоту среза фильтра f_g = 10 Гц и емкость конденсатора С = 10мкФ, на основании приведенных выше расчетных формул получим R = = 2,25 кОм и L = 25,3 Гн. Известно, что такой фильтр чрезвычайно неудобен для реализации из-за большой величины ин­дуктивности. Избежать применения индуктивностей можно, используя их аналоги в виде активных RС-цепей. Для этого мож­но применить схему гиратора (рис. 12.32). Однако такое схемное решение оказывает­ся весьма дорогостоящим.

Заданную передаточную функцию мож­но реализовать гораздо проще с помощью операционного усилителя с соответствую­щими RС-цепями, что позволяет исклю­чить применение аналога индуктивности.

Рис. 13.14. Пассивный фильтр нижних частот второго порядка.

13.4.2. ФИЛЬТР СО СЛОЖНОЙ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Передаточная функция активного филь­тра нижних частот, изображенного на рис. 13.15, имеет вид

Приравняв коэффициенты этой передаточ­ной функции коэффициентам выражения (13.17), получим

Для расчета фильтра можно, например, за­дать значения сопротивлений R₁ и R₃ и пo приведенным формулам вычислить значе­ния R₂, С₁ и С₂. Как видно, расчетные формулы справедливы для произвольных положительных значений a₁ и b₁. Коэффи­циент передачи постоянного сигнала А_o фильтра оказывается отрицательным, по­этому прошедший через фильтр низкоча­стотный сигнал будет инвертирован.

Чтобы реальная схема фильтра имела желаемую амплитудно-частотную характеристику, входящие в нее элементы могут быть подобраны с не очень высокой точностью. Что касается сопротивлений, то при их подборе никаких проблем не возни­кает, поскольку их номиналы (для стан­дартного ряда Е96) задаются с однопро­центным допуском. Несколько хуже об­стоит дело с конденсаторами. Допуск их номинальных значений, как правило, соста­вляет 10% и более (для доступного стан­дартного ряда Е6). В связи с этим гораздо лучше при расчете схемы задавать значе­ния емкостей конденсаторов и вычислять необходимые значения сопротивлений. По­этому решим уравнения относительно со­противлений:

Для того чтобы значение сопротивления R₂ было действительным, должно выпол­няться условие

Рис.13.15. Активный фильтр нижних частот второго порядка со сложной отрицательной обратной связью.

При выполнении этого условия в процессе расчета фильтра не следует выбирать от­ношение С₂/С₁ много большим величины, стоящей справа. Характеристики фильтра мало зависят от точности подбора номи­налов его элементов, поэтому рассмотрен­ная схема может, быть рекомендована для реализации фильтров с высокой доброт­ностью.

13.4.3. ФИЛЬТР С ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

Активный фильтр может быть также построен на основе операционного усилителя с положительной обратной связью.

Рис. 13.16. Активный фильтр ниж­них частот второго порядка с по­ложительной обратной связью.

При этом, разумеется, коэффициент усиле­ния операционного усилителя должен иметь строго определенное значение. От­рицательная обратная связь, сформирован­ная с помощью делителя напряжения R₃, (—1)R₃ (рис. 13.16), обеспечивает коэф­фициент усиления, равный . Положитель­ная обратная связь обусловлена наличием конденсатора С₂. Передаточная функция фильтра описывается следующим выраже­нием;

Расчет схемы фильтра существенно упро­щается, если с самого начала задать неко­торые дополнительные условия. Можно выбрать величину усиления  = 1. Тогда (—1)R₃ = 0, и оба сопротивления R₃ в делителе напряжения можно исключить. Такой операционный усилитель с отрица­тельной обратной связью, обеспечивающей единичное усиление, выпускается в виде микросхемы, представляющей собой по­вторитель напряжения (LM 310). Часто для этой цели достаточно использовать про­стой преобразователь полного сопротивления, например в виде схемы Дарлингтона. При этом можно построить фильтр для мегагерцевого диапазона. В рассматривае­мом случае (при  = 1) передаточная функ­ция фильтра принимает вид

Считая, что емкости конденсаторов cC₁ и С₂ заданы, получим

Чтобы значения R₁ и R₂ были действи­тельными, должно выполняться условие

Как и в случае фильтра со сложной отри­цательной обратной связью, не следует вы­бирать отношение С₂/С₁ много большим значения правой части последнего неравенства.

Расчеты можно также упростить, поло­жив R₁= R₂ = R и С₁ = С₂ = С. В этом случае для реализации фильтров различно­го типа необходимо изменять значение коэффициента . Передаточная функция фильтра будет иметь вид

Отсюда с учетом формулы (13.17) получим

Из последнего соотношения видно, что коэффициент  зависит от добротности по­люсов и не зависит от частоты среза. Ве­личина  в этом случае определяет тип фильтра. Таким образом, выбрав в табл. 13.6 значения коэффициентов a₁ и b₁ для конкретного фильтра, необходимо задать соответствующее значение . Эти значения коэффициента усиления приведены в табл.13.7. При  = 3 схема работает в режиме генерации сигнала с частотой f = 1/2RC. Отметим, что установка коэффициента усиления тем труднее, чем он ближе к значению  = 3.

Рис. 13.17. Активный фильтр верхних частот второго порядка с положитель­ной обратной связью.

Поэтому особенно тща­тельно следует настраивать коэффициент усиления при реализация фильтра Чебышева. Это является существенным недос­татком рассматриваемой схемы фильтра нижних частот. Положительным моментом является то, что для построения фильтров различного типа достаточно изменить лишь значение а при одних и тех же R и С. Кроме того, в этой схеме очень просто из­менять частоту среза, используя сдвоенный потенциометр для одновременного измене­ния сопротивлений R₁ и R₂ на рис. 13.16.

Поменяв местами сопротивления и емкости, получим фильтр верхних частот (рис. 13.17). Его передаточная функция имеет вид

Для упрощения расчетов положим  = 1 и C₁ = С₂ = С. При этом получим следую­щие расчетные формулы:

13.4.4. ФИЛЬТР НИЖНИХ ЧАСТОТ С ОМИЧЕСКОЙ OTРИЦАТЕЛЬНОЙ ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

В разд. 13.3 были изучены вопросы ре­ализации фильтра нижних частот первого порядка для высоких частот среза, в ре­зультате чего оказалось возможным ис­пользовать для этой цели амплитудно-частотную характеристику дифференциально­го коэффициента усиления скорректирован­ного операционного усилителя и вводить лишь омическую отрицательную обратную связь. То же можно сделать и для фильтра нижних частот второго порядка с ком­плексными полюсами. На рис. 13.18 приве­дена схема такого фильтра на двух опера­ционных усилителях, охваченных общей омической отрицательной обратной связью.

Частоту f_T обоих усилителей следует выбирать как можно большей. Запишем передаточную функцию этого фильтра с учетом формулы (13.15):

Рис. 13.18. Активный фильтр нижних частот второго порядка с омиче­ской отрицательной об­ратной связью.

Приравнивая коэффициенты передаточных функций (13.18) и (13.17), получим

Отсюда следует, что формулы для расчета элементов схемы будут иметь вид

При расчете схемы задают отношение f_g/f_T0,1, для того чтобы получить доста­точно широкую полосу при большом сиг­нале. Для получения требуемой частоты среза необходимо рассчитать значения двух корректирующих конденсаторов С_k (см. разд. 13.3). Далее по формуле (13.19) вычисляется коэффициент . Его значение должно лежать в диапазоне 0,01-0,1. Если это условие не выполняется, следует изме­нить f_g/f_T или a_o. Задав далее величину со­противления R, по формулам (13.20а) и (13.20б) вычисляют значения сопротивле­ний R₂ и R₃.

Рассмотрим пример расчета фильтра Баттерворта нижних частот с частотой сре­за 100кГц и коэффициентом передачи по­стоянного сигнала a_o = - 2. Положим f_g/f_T = 0,1; следовательно, частота f_T равна 1МГц. Выберем из табл. 13.6 параметры передаточной функции фильтра: а₁=1,4142 и b₁ = 1. Тогда из формулы (13.19) получим  = 0,035. Задав значение сопротивления R₁, равное 1 кОм, из формул (13.20а) и (13.206) получим R₂ = 4,04 кОм и R₃ = 2,0 кOм.