13.2. Преобразование нижних частот в верхние

Используя логарифмическое предста­вление, можно перейти от нижних частот к верхним, зеркально отобразив амплитудно-частотную характеристику коэффициен­та передачи относительно частоты среза, т.е. заменив  на 1/ или Р на 1/Р. При этом частота среза остается без изменения, a A переходит в Лзд. Из выражения (13.11) при этом получим

Переходная характеристика фильтра верх­них частот при ступенчатом входном сиг­нале имеет принципиально другой вид. Как видно из рис. 13.9, переходная харак­теристика даже фильтра с критическим за­туханием имеет колебания относительно установившегося значения. Аналогия с со­ответствующими фильтрами нижних ча­стот сохраняется лишь в том, что процесс затухания этих колебаний тем продолжи­тельнее, чем больше добротность полюсов.

13.3. Реализация фильтров нижних и верхних частот первого порядка

Из выражения (13.11) следует, что пере­даточная функция фильтра нижних частот первого порядка в общем случае имеет вид

Он может быть реализован с помощью простой .RС- цепи (рис. 13.1). Для этой схемы можно записать

Положим, что коэффициент передачи по­стоянного сигнала А₀ равен 1, Параметр a₁ может быть выбран произвольно. Из сопо­ставления коэффициентов приведенных вы­ражений получим

Как видно из таблицы коэффициентов 13.6, фильтры первого порядка всех ти­пов идентичны и значение коэффициента a₁ выбрано равным 1. При реализации фильтров более высокого порядка путем последовательного соединения отдельных фильтров (звеньев) встречаются фильтры первого порядка, для которых a₁  1. Это значит, что эти звенья фильтра имеют час­тоту среза, отличающуюся от частоты сре­за полного фильтра, а именно fg₁ =fg/a₁.

Простая RС- цепь, изображенная на рис. 13.1, обладает одним недостатком: ее свойства зависят от нагрузки. Поэтому не­обходимо дополнить ее преобразователем полного сопротивления. Придав ему функ­цию усиления сигнала с коэффициентом a₀, мы одновременно получаем возмож­ность свободно задавать значение коэффи­циента передачи. Соответствующая схема приведена на рис, 13,10.

Чтобы получить фильтр верхних ча­стот, необходимо в выражении (13.13) вели­чину Р заменить на 1/Р. В схеме для этого достаточно лишь поменять местами r₁ и С₁.

Для некоторого упрощения схемы фильтров нижних и верхних частот можно использовать RС- цепь для обратной связи. операционного усилителя. Построенный на таком принципе фильтр нижних частот показан на рис. 13.11. Его передаточная функция имеет вид

Рис. 13.10. Фильтр нижних частот первого по­рядка с преобразователем полного сопротивле­ния.

Рис. 13.11. Фильтр нижних частот первого по­рядка с инвертирующем усилителем.

Рис. 13.12. Фильтр верхних частот Первого по­рядка с инвертирующим усилителем.

Для расчета схемы необходимо задать ча­стоту среза fg, коэффициент передачи по­стоянного сигнала А₀ (для этой схемы он должен быть задан со знаком минус) и ем­кость конденсатора С₁. Приравняв коэф­фициенты полученной передаточной функ­ции коэффициентам выражения (13.13), по­лучим

На рис. 13.12 показана схема аналогич­ного фильтра верхних частот. Его переда­точная функция имеет вид

Приравняв коэффициенты этой передаточ­ной функции коэффициентам выражения (13.12), получим

Выражения для передаточных функций рассматриваемых схем справедливы только в диапазоне частот, для которых мо­дуль дифференциального коэффициента усиления А_D операционного усилителя пре­вышает модуль коэффициента А. Это ус­ловие для высоких частот удовлетворить трудно, поскольку уменьшение A_D из-за применения частотной коррекции соста­вляет б дБ на октаву и для обычного уси­лителя становится равным около 100 при частоте 10 кГц.

С другой стороны, эта особенность мо­жет быть использована при реализации фильтра нижних частот при высоких часто­тах среза, поскольку в данном случае до­статочно использовать омическую отрица­тельную обратную связь [13.6]. Частотная характеристика коэффициента передачи та­кого фильтра будет определяться филь­трующими свойствами частотно-скорректированного усилителя. Схема такого уси­лителя приведена на рис. 13.13. Учитывая конечную величину комплексного диффе­ренциального коэффициента усиления A_D, получим

Частотная характеристика дифферен­циального коэффициента усиления частот­но-скорректированного операционного усилителя может быть описана выраже­нием, соответствующим фильтру нижних частот первого порядка:

Подставляя последнее выражение в формулу (13.14) и считая, что kA_D >> 1, по­лучаем следующую формулу, описывающую частотную характеристику усиления:

Рис. 13.13. Фильтр нижних частот первого по­рядка с омической обратной связью

Выражение A_Dfg_A = f_T определяет частоту fт- операционного усилителя. Учитывая, что jw=р= wgР, получаем передаточную функцию

Приравняв коэффициенты передаточных функций (13.13) и (13.16), можно записать

При расчете схемы следует учитывать гра­ничные условия. Параметры k и а должны, быть 1. Величина перерегулирования вы­ходного сигнала убывает на высоких ча­стотах из-за ограниченной скорости нара­стания и на частоте fт становится очень малой. Поэтому следует выбирать частоту среза fg₁ =fg/a₁ схемы меньшей 0,1fт. Сле­довательно, значение k должно быть не больше 0,1. Существует также и нижняя граница для параметра k: если выбрать его слишком малым, то получится малое зна­чение усиления цепи обратной связи g= kA_D и в результате будет плохо опреде­лен коэффициент передачи постоянного сигнала. С учетом этих двух требований следует выбирать k = 0,1.

Для того чтобы можно было выбирать произвольную частоту среза фильтра, не­обходимо иметь возможность изменять ча­стоту fт операционного усилителя. Поэто­му для построения фильтров можно реко­мендовать усилители, не имеющие встроенной частотной коррекции, напри­мер усилители типа А 748 или LM 301. Для этих операционных усилителей справедлива следующая приближенная формула для частоты fт

где Сk - корректирующая емкость. Из со­ображений устойчивости ее величина дол­жна быть не меньше k*30 пФ. В рассма­триваемом случае величина Сk должна быть не менее 3 пФ. При этом максимальная частота среза будет равна