13. Активные фильтры

13.1. Теоретическое описание фильтров нижних частот

В разд. 2.1 и 2.2 были рассмотрены схемы простых фильтров нижних и верх­них частот. Схема простейшего фильтра нижних частот еще раз показана на рис. 13.1. Из соотношения (2.1) следует, что выходное напряжение фильтра зависит от частоты входного сигнала. Эта зависи­мость определяется формулой

Передаточная функция определяет зависи­мость преобразований Лапласа выходного и входного напряжений для произвольных временных сигналов. Переход от переда­точной функции А(р) к частотной характе­ристике A(jw) для синусоидальных входных сигналов можно выполнить, поло­жив  = 0.

Для реализации общего подхода целе­сообразно нормировать комплексную переменную р. Положим

Частота среза фильтра fg на рис. 13.1 рав­на 1/2RС. Отсюда получим P=pRC и

Рис. 13.1. Простейший фильтр нижних частот первого порядка.

Используя передаточную функцию для оценки зависимости амплитуды выходного сигнала от частоты, запишем

При  >> 1, т.е. для случая, когда частота входного сигнала f>>fg, | A == 1/. Это со­ответствует снижению коэффициента пере­дачи фильтра на 20 дБ на декаду.

Если необходимо получить более быст­рое уменьшение коэффициента передачи, можно включить n фильтров нижних час­тот последовательно. Передаточная функ­ция такой системы имеет вид

где ₁, ₂,…_n –действительные положительные коэффициенты. Уменьшение коэффициента передачи характеризуется величиной n* 20дБ на каждую декаду.

Передаточная функция нижних частот в общем виде может быть записана как

где с₁, с₂,...с_n-положительные действи­тельные коэффициенты. Порядок фильтра определяется максимальной степенью переменной Р. Для реализации фильтра не­обходимо разложить полином знаменателя на множители, Если среди корней полино­ма есть комплексные, то рассмотренное ранее представление полинома (13.2) не мо­жет быть использовано. В этом случае сле­дует записать его в виде произведения со­множителей второго порядка:

где аi и bi- положительные действительные коэффициенты. Для нечетных порядков по­линома коэффициент b₁ равен нулю.

Параметры фильтра могут быть опти­мизированы по различным критериям. Для удовлетворения каждому из выбранных критериев оптимизация коэффициенты аi и bi передаточной функции А (Р) должны иметь строго определенные значения. Как мы увидим в дальнейшем, корни полинома могут иметь сопряженные комплексные значения, что приводит к невозможности реализации такого фильтра с помощью пассивных RС- цепей. Для реализации фильтров с сопряженными комплексными корнями могут быть использованы LRC- фильтры. Для высоких частот получение необходимых индуктивностей не представ­ляет затруднений. Однако для низких час­тот нужны большие индуктивности, ко­торые сложны в изготовлении и обладают плохими электрическими характеристика­ми. Применения индуктивностей для фильтров в низкочастотном диапазоне можно избежать, используя .RС- схемы с ак­тивными элементами (например, опера­ционными усилителями). Такие схемы да­лее будем называть активными фильтрами.

Рассмотрим теперь различные способы задания оптимальных характеристик фильтров нижних частот, схемная реализа­ция которых будет описана в следующих разделах.

Амплитудно-частотная характеристика фильтра Баттерворта имеет довольно длинный горизонтальный участок и резко спадает за частотой среза. Переходная ха­рактеристика такого фильтра при ступенчатом входном сигнале имеет колеба­тельный характер. С увеличением порядка фильтра колебания усиливаются.

Рис- 13.2. Амплитудно-частотные характеристи­ки фильтров четвертого (а) и десятого (б) поряд­ков.