11.8. Аналоговые схемы ум­ножения

Мы уже ознакомились со схемами сло­жения, вычитания, дифференцирования, ин­тегрирования и умножения на постоянный коэффициент. Ниже будут изложены ос­новные принципы умножения и деления двух переменных напряжений.

Рис. 11.36. Прямоугольное напря­жение для временного деления.

11.8.1. МЕТОД ВРЕМЕННОГО РАЗДЕЛЕ­НИЯ

При временном разделении применяют­ся прямоугольные колебания постоянной частоты f, амплитуда которых пропорцио­нальна первому входному напряжению, а разность длительностей положительной и отрицательной полуволн (t₁ — t₂) про­порциональна второму входному напряже­нию (рис. 11.36).

С помощью фильтра нижних частот формируется среднее значение этого на­пряжения. Если

то для среднего значения напряжения мож­но записать

Проблемой, возникающей при использова­нии этого метода, является расчет фильтра нижних частот. Он должен быть рассчитан так, чтобы вклад сигнала прямоугольной формы в выходное напряжение был минимальным. Но с другой стороны, полоса пропускания фильтра должна быть доста­точно широкой.

На рис. 11.37 приведена блок-схема вре­менного разделения. Изменение скважно­сти импульсов выполняется с помощью компаратора, в котором входное напряже­ние U₂ сравнивается с выходным напряже­нием генератора треугольного сигнала. Ве­личины t₁ и t₂ показаны на рис. 11.38. Исходя из уравнения треугольного сигнала

получим

и

При этом среднее значение напряжения на выходе фильтра нижних частот будет рав­но

Устройство функциональных преобразова­телей, используемых для умножения на­пряжений, будет описано в следующих раз­делах:

Генератор треугольного сигнала— разд. 18.4

Компаратор — разд. 17.5

Управляемый переключатель- разд. 17.3.2

Фильтр нижних частот— гл. 13

Рис. 11.37. Блок-схема перемножения напряже­ний.

Рис. 11.38. Формирование переменной скважности импульсов.

11.8.2. УМНОЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ

Умножение и деление можно свести к сложению и вычитанию логарифмов:

Эту функцию можно реализовать с по­мощью трех логарифмических усилителей, одного экспоненциального функционально­го генератора и одной схемы суммирова­ния. Изящное решение состоит в использо­вании логарифмических усилителей по схе­ме рис. 11.22 и экспоненциального функ­ционального генератора по схеме рис. 11.24 с учетом того, что входы, пред­назначенные для подключения опорного напряжения, могут быть использованы для подачи соответствующих входных сигна­лов.

Выбирая для логарифмирующего уси­лителя, построенного по схеме рис. 11,22, R₁=R₂, R₄ = , R₃= 0, Ue = Uz и Uoпopн= Uy, получим

Подадим это напряжение на вход экспо­ненциального функционального генератора по схеме рис. 11.24 и выберем Uопорн = Ux. Задав те же значения сопротивлений, что и для логарифмического усилителя, получим

Поскольку напряжение U_T в результирую­щем выражении отсутствует, следует предусмотреть его небольшую дополни­тельную температурную компенсацию. Принципиальный, недостаток описанного выше метода состоит в том, что все входные напряжения должны быть поло­жительны и не равны нулю. Такой блок умножения будем называть одно-квадрантным. Полная схема блока приведена на рис, 11.39. Снизу изображен логарифми­ческий усилитель, вверху экспоненциальный функциональный генератор. Этот блок умножения выпускается в виде отдельной интегральной микросхемы 4200 (Raytheon}.

11.8.3. СХЕМА УМНОЖЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩАЯ ИЗМЕНЕНИЕ КРУТИЗНЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРАНЗИСТОРОВ

Как отмечалось в гл. 4, статическая крутизна транзистора пропорциональна коллекторному току:

Отсюда следует, что изменение коллек­торного тока пропорционально произведению изменения входного напряжения и то­ка коллектора при отсутствии сигнала. Это свойство используется в дифференциаль­ном усилителе (рис. 11.40) для умножения.

Рис. 11.39. Схема умножения с помощью логарифмов.

Рис. 11.40. Принцип умножения с ис­пользованием крутизны транзисторов

Операционный усилитель формирует разность коллекторных токов:

Если задать отрицательное напряжение Uy при Ux = 0, то через оба транзистора бу­дет течь одинаковый ток. При этом выход­ное напряжение Ua будет равно пулю. Если напряжение Ux станет положительным, коллекторный ток транзистора T₁, увели­чится, а ток транзистора Т₂ уменьшится. Выходное напряжение Ua при этом будет отрицательным. Соответственно напряже­ние Ua будет положительным, если Ux от­рицательно. Разность коллекторных токов будет тем больше, чем больше эмиттерный ток, т.е. чем больше напряжение Uy. Мож­но предположить, что выходное напряже­ние Ua, по меньшей мере приближенно, пропорционально произведению Ux•Uy. Для точного исследования рассмотрим распределение токов в дифференциальном каскаде. Как было показано в разд. 11.7.4, из формулы (11.36) следует, что

Разлагая функцию th в ряд и ограничи­ваясь членами до четвертого порядка, можно записать

Из этого соотношения следует, что

Чтобы условие (11.45) удовлетворялось, не­обходимо, чтобы Ux < 0,35U_T = 9 мВ; тогда искажения не будут превышать 1%. Поскольку напряжение Ux оказывается достаточно малым, транзисторы Т₁и T₂ должны иметь очень близкие параметры, чтобы дрейф напряжения смещения нуля не вызывал дополнительных искажений.

Для того чтобы схема работала пра­вильно, напряжение Uy. должно быть толь­ко отрицательным, a Ux может иметь лю­бой знак. Такой блок умножения будем называть двухквадрантным.

Блок умножения по схеме рис. 11,40 мо­жет быть оптимизирован в нескольких на­правлениях. При выводе формулы (11.46) предполагалось, что Uy » u_be = 0,6 В. Это условие можно отбросить, если резис­тор Ry заменить регулируемым источни­ком тока, для которого I_EUy.

Другой недостаток этой схемы состоит в том, что напряжение |Ux| должно быть достаточно малым, чтобы погрешности, обусловленные нелинейностью характери­стик, были невелики. Это ограничение можно обойти, если, например, подавать на вход схемы умножения не само напря­жение Ux, а его логарифм.

Четырехквадрантный блок умножения для входных напряжений любого знака можно построить, добавив еще один диф­ференциальный усилитель, эмиттерный ток которого регулируется напряжением Uy.

Рис. 11.41. Схема четырехквадратного умножения.

Все эти соображения были учтены при создании четырехквадрантного блока ум­ножения, схема которого приведена на рис. 11.41. Дифференциальный усилитель на транзисторах T₁, Т₂ соответствует схеме на рис. 11.40. Он симметрично дополнен дифференциальным усилителем на транзи­сторах T₁`, Т<sub>2</sub>`. Дифференциальный усили­тель на транзисторах T₅, Т₆ охвачен отри­цательной обратной связью по току. Кол­лекторы этих транзисторов являются вы­ходами источников тока. Коллекторные токи транзисторов зависят от входного на­пряжения Uу:

Выражения для разностей коллекторных токов дифференциальных усилителей на транзисторах Т₁, T₂ и Т₁`, Т<sub>2</sub>` получим по аналогии с предыдущей схемой:

С помощью операционного усилителя разность коллекторных токов преобразуется в выходной сигнал

Вычитая выражение (11.48) из (11.49) и под­ставляя результат в (11.50), получаем

Отсюда видно, что в этом случае напряже­ние Uу может иметь любой знак. Далее пу­тем последовательных выкладок (как это было сделано для предыдущей схемы) можно показать, что предложенная схема реализует приближенное умножение входных напряжений.

Итак, исследуем взаимосвязь напряже­ний U₁ и Ux. Два транзистора в диодном включении (D₁ и D₂) служат для логариф­мирования входного сигнала:

отсюда следует, что

Подстановка полученного выражения в (11.51) дает

Здесь Е = RxRyI₇/2Rz – коэффициент пропорциональности. Он чаще всего выби­рается равным 10 В. Напряжение U_T не входит в последнее соотношение, что сви­детельствует о хорошей температурной компенсации схемы. Соотношение (11.53) было получено без применения разложения в ряд. Поэтому допустима существенно большая область изменения входного на­пряжения Ux. Максимальные значения Ux и Uy соответствуют запиранию одного из транзисторов регулируемого источника то­ка. Отсюда следует

Если обеспечить возможность регулирова­ния тока I₇, с помощью дополнительного напряжения U₇, то можно одновременно с умножением выполнять и деление сигна­лов. Однако практически оказывается до­статочно сложно одинаково управлять дву­мя токами одновременно в широком диа­пазоне их изменения.

Простая возможность осуществления деления состоите разрыве связи между на­пряжениями Ua и Ut в объединении Uy с Ua. В результате возникающей отрицатель­ной обратной связи выходное напряжение будет изменяться так, что I = Uz/Rz. Из формул (11.50) и (11.53) в этом случае следует

При этом выходное напряжение будет рав­но

Данная схема является устойчивой, если напряжение Ux отрицательно. В противном случае отрицательная обратная связь .ста­нет положительной. Напряжение Uz, может быть любой полярности. Рассмотренная схема позволяет выполнять двухквадратное деление сигналов. Ограничение, нала­гаемое на полярность напряжения Ux не является недостатком данной схемы. Оно присуще всем схемам деления.

Описанный принцип умножения (рис. 11.41) использован при создании ряда микросхем, выпускаемых промышлен­ностью (AD 534, Intersil ICL 8013). Полоса пропускания этих микросхем достигает 1 МГц.

Схема деления с улучшенными характери­стиками

Выше были описаны два блока деле­ния: на основе схемы логарифмического умножения (рис. 11.39) и принципиально иной схемы, только что рассмотренной вы­ше. При малых значениях входных напря­жений в делителях возникает принципиаль­ная проблема: существенная зависимость выходного напряжения от погрешностей установки нуля. Это особенно сильно сказывается в последней схеме умножения, поскольку из-за наличия входного лога­рифмического усилителя к входному сигна­лу добавляется положительная величина [а именно ток I₇, входящий в выражение (11.52)], которая позволяет задавать знако­переменный сигнал аргумента. Выполнение деления с помощью схемы на рис. 11.39 в этом смысле оказывается более вы­годным; однако такая схема позволяет вы­полнять деление только в одном квадран­те.

Для того чтобы использовать преиму­щества каждой из рассмотренных схем, а именно двухквадрантное деление и точность при малых значениях входных на­пряжений, следует к числителю добавлять величину, пропорциональную знаменателю логарифма.

Рис. 11.42. Блок-схема двухквадрантного деления.

Рис. 11.43. Эквивалентная схема умножения.

Схема деления должна обеспечивать выполнение соотношения

В предположении, что Uz > 0 и Ux < Uz, можно получить два вспомогательных на­пряжения

которые всегда положительны. Далее ка­ждое из этих напряжений в соответствии с блок-схемой на рис. 11.42 подвергается логарифмированию по схеме рис. 11.20. Разность выходных напряжений U₃ и U₄ с помощью дифференциального усилителя по, схеме рис. 11.40 преобразуется в со­ответствии с функцией гиперболического тангенса, В результате получаем

Отсюда с учетом формул (11.55) следует, что

Рассмотренный метод позволяет получить точность результата порядка 0,1% в диапа­зоне изменения входных напряжений 1:1000. (Этот принцип использован в ми­кросхеме AD 436).

11.8.4. СХЕМА УМНОЖЕНИЯ С ИЗОЛИРОВАННЫМИ ЗВЕНЬЯМИ

С помощью простого делителя напря­жения можно умножать напряжение на по­стоянный коэффициент. Изменяя коэффи­циент передачи делителя в зависимости от другого напряжения, можно выполнять аналоговое yмнoжeниe напряжений,

Блок-схема, поясняющая такой принцип умножения, показана на рис. 11.43. В нее входят две идентичные схемы с переменными коэффициентами передачи Кx и Кz выходное напряжение которых пропор­ционально входному. Соответствующий коэффициент пропорциональности k мож­но регулировать с помощью напряжения U₁. Напряжение на выходе усилителя (U₁) благодаря отрицательной обратной связи через Кz, устанавливается в соответствии с равенством kUz = Uy. Следовательно, k = Uy/Uz. При подаче напряжения Ux на вторую схему с переменным коэффициен­том передачи на ее выходе будет получено напряжение, удовлетворяющее соотноше­нию

Напряжение Uz, должно быть положи­тельным, чтобы отрицательная обратная связь не стала положительной. Полярность напряжений Ux и Uy может быть про­извольной.

Используем в качестве электрически управляемого резистора полевой транзис­тор. Тогда для реализации рассмотренного принципа можно применить схему, пред­ставленную на рис. 11.44. Усилитель ОУ 1 служит для регулирования коэффициента передачи входного напряжения. Выходное напряжение усилителя ОУ 1 определяет дифференциальное сопротивление R_DS полевого транзистора Т₁, а следовательно, и Т₂ в соответствии с соотношением

Отсюда следует, что

Выходное напряжение усилителя ОУ 2 в этом случае будет равно

Рис. 11.44. Схема умножения с управляемыми полевыми транзисторами.

При использовании полевого транзистора в качестве регулируемого резистора паде­ние напряжения на нем не должно превы­шать примерно 0,5 В. Делитель напряже­ния R₁, R₂ служит для необходимого ослабления входного напряжения. Линеа­ризация сопротивления полевых транзи­сторов осуществляется с помощью рези­стора ид, как описано в гл. 5. Эти рези­сторы должны быть более высокоомными, чем резисторы входных делителей напря­жения (R₁ и R₂).

Для того чтобы обратная связь в уси­лителе ОУ 1 была отрицательной, входное напряжение U_z должно быть положи­тельным. Поскольку с помощью полевых транзисторов можно получить только однополярный коэффициент передачи, на­пряжение U_y должно быть всегда отрица­тельным, чтобы не нарушалась устойчи­вость схемы. Полярность напряжения U_x может быть произвольной. Для получения высокой точности, полевые транзисторы должны иметь согласованные токовые ха­рактеристики в большом диапазоне изме­нения их дифференциального сопротивле­ния. Это требование может быть выполне­но только при использовании монолитных транзисторных сборок, например VCR UN фирмы Siliconix.

11.8.5. БАЛАНСИРОВКА СХЕМ УМНОЖЕНИЯ

Схемы умножения предназначены для реализации соотношения

где Е- коэффициент пропорциональности, равный, например, 10В. На практике каж­дое напряжение включает небольшое на­пряжение смещения. В общем случае мож­но записать

Отсюда следует, что

Произведение U_xU_v должно быть равно нулю, если одно из входящих в него напря­жений равно нулю. Это условие будет вы­полняться только тогда, когда Uxo, Uyo и Uaо отсутствуют. Поэтому в принципе необходимо иметь три регулятора для уста­новки нуля, т.е. для компенсации этих напряжений. Балансировку целесообразно выполнять следующим образом. Устано­вим напряжение U_x = 0. Тогда из фор­мулы (11.57) следует, что

В этом случае изменение напряжения Uy также будет приводить к изменению вы­ходного напряжения из-за того, что в по­следнее выражение входит произведение UyUxo. Отрегулируем напряжение Ux с по­мощью соответствующего регулятора нуля таким образом, чтобы изменение Uy не влияло на величину выходного сигнала. В этом случае Uxo будет равно нулю.

Теперь положим Uy = 0 и будем изме­нять Ux до тех пор, пока Uyо не станет равным нулю. Наконец, установив Ux = Uу = 0, скомпенсируем напряжение Uao.

В большинстве случаев может понадо­биться еще один регулятор для установки необходимой величины коэффициента про­порциональности Е.

11.8.6. СХЕМЫ ЧЕТЫРЕХКВАДРАНТНОГО УМНОЖЕНИЯ

Иногда требуется выполнять одно- или двухквадрантное умножение входных напряжений, полярность которых является запрещенной. Наиболее простое решение в этом случае состоит в инвертировании таких напряжений на входе и выходе схемы умножения. Однако такой подход весьма неэкономичен и не очень удобен. Гораздо лучше добавить к входным напря­жениям Ux и Uy такие постоянные напря­жения Uxk и Uyk, чтобы результирующие напряжения при всех условиях оставались в допустимой области. В этом случае вы­ходное напряжение будет равно

Тогда для искомого произведения входных напряжений получим

Из последнего выражения следует, что для получения решения нужно из выходного напряжения Ua вычесть одно постоянное и два переменных напряжения, пропорцио­нальных входным сигналам. Необходимые для этого схемы уже были описаны в нача­ле этой главы.

Блок-схема соответствующего устрой­ства приведена на рис. 11.45. Постоянные напряжения и коэффициенты нужнo выби­рать так, чтобы полностью использовать весь диапазон изменения сигнала. Так, если входное напряжение Ux изменяется в диа­пазоне -EUx+E, то U₁ следует выбирать равным 0,5E + 0,5Ux, чтобы диа­пазон его изменения был равен 0U₁Е. Тогда для выходного напряжения можно записать

11.8.7. ПРИМЕНЕНИЕ СХЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ДЛЯ ДЕЛЕНИЯ И ИЗВЛЕЧЕНИЯ КВАДРАТНЫХ КОРНЕЙ

На рис. 11.46 показано, как схема, пред­назначенная для умножения, может быть использована для деления напряжений. Вы­ходное напряжение операционного усили­теля благодаря наличию отрицательной обратной связи устанавливается таким, чтобы удовлетворялось следующее соотно­шение:

Таким образом, выходное напряжение является частным от деления входных на­пряжений: Ua=EUx/Uz. Эта схема работает правильно только тогда, когда напря­жение Uz больше нуля. При отрицатель­ном значении Uz, обратная связь из отри­цательной превращается в положительную.

Рис. 11.45. Блок-схема четы­рехквадрантного умножения.

Рис. 11.46. Использование схемы умножения для деления.

Рис. 11.47. Использование схемы умно­жения для извлечения квадратных корней.

Схему умножения можно также исполь­зовать для извлечения квадратных корней, если ее включить по схеме квадратора в цепь обратной связи операционного уси­лителя (см. блок-схему на рис. 11.47). При этом выходное напряжение будет равно

Устройство правильно функционирует только при положительных входных и выходных напряжениях. Нарушения в работе схемы могут возникнуть, когда выходное напряжение, например при включении, кратковременно становится отрица­тельным. В этом случае из-за наличия ква­дратора происходит изменение фазы на 180° в цепи отрицательной обратной связи. При этом возникает положительная обрат­ная связь, из-за которой отрицательное вы­ходное напряжение продолжает увеличи­ваться до тех пор, пока операционный усилитель не перейдет в состояние насыще­ния. Во избежание таких нарушений ра­боты устройства следует схемными мера­ми добиться того, чтобы выходное напря­жение не принимало отрицательных значе­ний.