Решение степенного уравнения вида

для х > 0 можно получить с помощью ло­гарифмических усилителей и экспонен­циальных функциональных генераторов, используя тождество

Схема решения степенного уравнения показана на рис. 11.25. В этой схеме используется логарифмический усилитель (рис. 11.22) и экспоненциальный преобразо­ватель (рис. 11.24), в котором R₃ = 0, R₄ =  и R₁ = R₂. При этом получим выходное напряжение

Поскольку опорное напряжение Uопорн в последнем уравнении является сомножи­телем, при схемной реализации следует обеспечить его высокую температурную стабильность.

Описанный выше метод решения сте­пенного уравнения справедлив лишь для положительных значений входных напря­жений. Для целых степеней  решение су­ществует также в случае, если входные сиг­налы биполярны. При этом следует приме­нять схемы умножения напряжений, ко­торые описаны в разд. 11.8.

11.7.4. ФУНКЦИИ SIN X И COS X

Синусный преобразователь предназна­чен для реализации выражения

в диапазоне изменения входного напряже­ния - U_e< U_e < + U_e. Для малых значе­ний входного напряжения можно записать

Целесообразно выбирать значение ам­плитуды U_a так, чтобы вблизи нуля выполнялось условие U_a = U_e. В этом случае U_a выбирается в соответствии с соотноше­нием

Следовательно, при малых значениях вход­ного напряжения синусный преобразователь должен иметь коэффициент передачи, равный 1, который при больших значениях напряжения должен уменьшаться. Схема, удовлетворяющая этим требованиям, при­ведена на рис. 11.26. Она основана на принципе кусочной аппроксимации.

Рис. 11.25. Степенная функ­ция.

Рис. 11.26. Схема реализации синусной функции с 2n = б точками излома.

При малых значениях входного напря­жения все диоды заперты и выходное напряжение, как и требовалось, равно вход­ному (U_a = U_e). При достижении вы­ходным напряжением значения U₁ диод D₁ открывается. Теперь выходное напряжение U_a будет нарастать медленнее входного, так как резисторы R_ и R₁ образуют дели­тель напряжения. Когда выходное напря­жение станет больше U₂, подключится до­полнительное плечо делителя напряжения (R₅) и коэффициент передачи входного сигнала еще уменьшится. Наконец, диод D₃ служит для аппроксимации синусной характеристики касательной в точке макси­мума. Соответствующие диоды D₁^ -Dз^/ предназначены для аналогичной аппроксимации характеристики при отрицательных входных напряжениях. Следует учитывать, что диоды будут отпираться не мгновенно, а в соответствии с их экспоненциальными характеристиками; это позволяет реализо­вать синусную характеристику с достаточ­но малой погрешностью при небольшом числе диодов.

Для расчета параметров схемы необхо­димо сначала задать точки излома аппроксимирующей кривой с кусочно-по­стоянным наклоном. Можно показать, что первые n нечетных гармоник будут отсут­ствовать, если положения 2n точек излома будут удовлетворять следующему соотно­шению [11.2]:

Соответствующие им значения выходного напряжения определяются формулой

Наклон соответствующих аппроксимирую­щих отрезков равен

Как уже отмечалось, в точке максимума (k = n) аппроксимирующий отрезок гори­зонтален, т.е. m = 0. Коэффициент m₀, определяющий наклон начального участка, выбран равным единице.

Вследствие симметрии аппроксимирую­щей характеристики четные гармоники в выходном сигнале будут отсутствовать. Учитывая влияние эффективных значений нечетных гармоник, можно теоретически оценить погрешность аппроксимации. Так, погрешность не превышает 1,8% для 2n=б точек излома, 0,8% для 2n=12. В ре­зультате сглаживания аппроксимирующей кривой, обусловленного реальными харак­теристиками диодов, фактические значения погрешностей будут еще меньше. Покажем это на реальном примере.

Треугольное напряжение с макси­мальным значением U_e=5В необходимо преобразовать в синусное напряжение. Из формулы (11.31) получим значение для амплитуды выходного сигнала U_a = 3,18 В; при этом наклон нулевых участков, как и требовалось, будет точно равен единице. Выберем для аппроксимации 2n = 6 точек излома кривой. С помощью формулы (11.33) вычислим соответствующие значе­ния напряжения входного сигнала, при ко­торых изменяется наклон кривой. Они равны ± 1,4, ± 2,5 и ± 3,1 В. Учитывая реальные характеристики диодов, следует скорректировать полученные значения на­пряжения так. чтобы начальный момент открывания диодов наступал при входном напряжении, меньшем на 0,5 В. Оконча­тельно получаем U₁ = 0,9В, U₂ = 2,0В и U₃ = 2,6В. Значения сопротивлений рези­сторов R₁, R₂ и R₃, определяющих коэффи­циент передачи входного сигнала, приве­дены на схеме рис. 11.26. Эмиттерные повторители на транзисторах T₁ и T₂' слу­жат в качестве источников напряжения для установки напряжения U₃ и одновременно для температурной компенсации прямого напряжения диодов.

Рис. 11.27. Зависимость выходного напряжения и напряжения ошибки (увеличенного в 50 раз) от величины входного сигнала.

Наклоны трех участков определим с по­мощью формулы (11.34): m₁ = 0,78, m₂ = 0,43 и m₃ = 0. Значение сопротивления резистора R_ выберем равным 2,2 кОм. Пренебрегая внутренним сопротивлением цепей делителя напряжения, можно запи­сать

откуда получим значение сопротивления R₄ = 7,8 кОм. Расчет сопротивления R₅ производится на основании формулы

Вычисленное значение R₅ равно 2,1 кОм.

Для точной настройки схемы приме­няется заграждающий фильтр (см. разд. 13.9), выделяющий основную гармо­нику, и исследуются осциллограммы на­пряжения сигнала ошибки. Оптимум до­стигается тогда, когда максимальные зна­чения сигнала ошибки будут равны (рис.11.27). Измеренный коэффициент искажений составляет 0,42%, что оказывается значительно меньше теоретического значе­ния для диодов с идеальными характери­стиками.