Значения времени установления фильтра нижних частот

Если в качестве входного сигнала приложено напряжение прямоугольной формы с периодом T, то экспоненциальная функция прерывается через каждую половину периода. Какое значение при этом будет достигнуто, зависит от соотношения T/2 и . (См. осциллограмму, приведенную на рис. 2.4.)

Рис 2.4. Импульсный режим работы фильтра нижних частот при различных частотах.

Фильтр нижних частот как интегрирующее звено.

В предыдущем разделе показано, что при частотах сигнала f >> f_g выходное переменное напряжение мало по сравнению с входным. В этом случае из дифференциального уравнения (2.4) в предположении, что |U_a|<<|U_e|, следует, что RCU_a=U_e, т.е.

Фильтр нижних частот как детектор среднего значения

Для переменного напряжения, содержащего постоянную составляющую, сделанное выше предположение f >> f_g справедливо. Постоянная составляющая, полученная путем разложения в ряд Фурье, равна среднему значению

где T-период колебаний входного напряжения. Суммируя все остальные члены ряда Фурье, находим некоторое напряжение U'_e(t), которое по форме совпадает с входным, но сдвинуто так, что среднее значение равно нулю. Следовательно, входное напряжение можно представить в виде

Напряжение U'_e(t) при f >> f_g интегрируется, а постоянная составляющая передается линейно. Таким образом, выходное напряжение

Если постоянная времени достаточно велика, то пульсация пренебрежимо мала и

U_a  U_e (2 8)

2.1.3. Длительность фронта импульса и частота среза филыра

Другим параметром, характеризующим фильтр нижних частот, является длительность фронта импульса. Этот параметр показывает время, в течение которого выходное напряжение возрастет от 10 до 90% конечного значения, если на вход подать импульс напряжения прямоугольной формы. Учитывая свойства экспоненциальной функции, из формулы (2.5) получим

Это соотношение с большой степенью точности действительно для фильтра нижних частот.

При последовательном соединении нескольких фильтров нижних частот, обеспечивающих различные длительности фронта выходного импульса t_ai результирующая длительность фронта импульса

Частота среза приближенно определяется как

Для случая п фильтров с равными частотами среза

2.2. Фильтр верхних частот

Фильтр верхних частот -это схема, которая передает без изменений сигналы высоких частот, а на низких частотах обеспечивает затухание сигналов и опережение их по фазе относительно входных сигналов. Схема простого RС-фильтра верхних частот приведена на рис. 2.5.

Рис 2 5 Простой фильтр верхних частот

Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики опять получим из формулы для отношения напряжений

Обе кривые представлены на рис. 2.6

Рис. 2.6 Диаграмма Боде для фильтра верхних частот

Выражение для частоты среза совпадает с соответствующим выражением для фильтра нижних частот:

Фазовый сдвиг на этой частоте составляет + 45°. Как и для фильтра нижних частот, наиболее просто составить амплитудно-частотную характеристику в двойном логарифмическом масштабе с помощью асимптот:

1) | A | = 1 = 0 дБ на высоких частотах

f >> f_g

2) На низких частотах f << f_g, согласно формуле (2.13), | A | =RC т.е. коэффициент усиления пропорционален частоте. Наклон асимптоты равняется + 20 дБ на декаду или +6дБ на октаву.

3) При f = f_g как и для фильтра нижних частот,

При расчете реакции на импульс напряжения применим для ненагруженного выхода второй закон Кирхгофа:

При dU_e/dt = 0 получим дифференциальное уравнение

Его решение имеет вид

Таким образом, постоянная времени, как и для фильтра нижних частот, равна  =RC.

Для определения начального значения U_a0 = U_a (t = 0) используем дополнительное соображение: в момент, когда входное напряжение изменяется скачкообразно, заряд конденсатора остается неизменным. Он действует как источник напряжения U = Q/С. Выходное напряжение повторяет скачок U входного напряжения (рис. 2,7, а) от нуля до U_r а затем убывает по экспоненте, согласно равенству (2.17), снова до нуля. Если входное напряжение скачком изменяется от U_r,. до нуля, то U_a скачком уменьшается от нуля до –U_r (рис. 2.7, б). При этом важно заметить, что выходное напряжение имеет отрицательные значения, хотя входное напряжение всегда положительно. Это обстоятельство часто используется в схемотехнике.

Рис. 2.7. Реакция фильтра верхних частот на скачок напряжения.