22.4. Реализация цифровых фильтров
Как мы видели в предыдущем разделе, с помощью цифрового фильтра входная последовательность {x(t)} может быть преобразована в выходную последовательность {y(t)} и при этом реализуется желаемая цифровая передаточная функция А(z). Отсюда получается блок-схема, показанная на рис. 22.11. Для того чтобы выполнялись положения теоремы о дискретизации, ограничим полосу частот с помощью аналогового фильтра нижних частот. Посредством элемента выборки-хранения берутся выборки из ограниченного по полосе сигнала с интервалом Та = 1/fa. Эти выборки с помощью аналого-цифрового преобразователя преобразуются в , числовую последовательность {x(t)} и подаются на вход цифрового фильтра. Выходная последовательность {x(t)} может быть обработана далее в цифровой форме или с помощью цифро-аналогового преобразователя и фильтра нижних частот преобразована в непрерывный сигнал. При этом необходимо принять во внимание положения, изложенные в разд. 22.1.
22.4.1. СТРУКТУРА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
На рис. 13.44 мы познакомились с аналоговым фильтром, для которого все коэффициенты общей передаточной функции второго порядка могут быть определены в соответствии с формулой (13.42) или (22.23). Так как выражение (22.24) для цифровой передаточной функции A(z} имеет такой же вид, фильтр может быть реализован в той же самой структурной схеме, если интегратор заменить элементом задержки. Для фильтра первого порядка необходим лишь один элемент задержки (рис. 22.12). Передаточную функцию A(z) можно найти способом, описанным в разд. 22.2.2. Из формулы (22.11) для цепи задержки получаем Z-преобразо-ванную выходную последовательность
Отсюда находим цифровую передаточную функцию
Если вывести А (z) из специальной аналоговой передаточной функции, то по некоторым отличительным свойствам полученных коэффициентов можно непосредственно, как и в случае аналоговых фильтров, найти способ построения фильтра.
Рис. 22.12. Цифровой фильтр первого порядка.
Используя выражения (22.25), получаем следующие соотношения:
для фильтра нижних частот
Фильтры нижних частот характеризуются, таким образом, соотношением D1 = D0, а для фильтров верхних частот D1 = —d0. Отсюда понятно, почему схема, приведенная на рис. 22.6, не является истинным фильтром нижних частот, а обладает лишь похожей характеристикой: коэффициент D1 в формуле (22.28) не равен D0. Это означает, что коэффициент d1 соответствующего аналогового фильтра не равен нулю. Поэтому затухание на высоких частотах остается конечным.
22.4.2. СТРУКТУРА ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Если к схеме на рис. 22.12 прибавить звено задержки, то получится фильтр второго порядка, который представлен на рис. 22.13. Существует, кроме того, возможность дальнейшего наращивания схемы [22.2], которую здесь, однако, мы не будем рассматривать подробно. Фильтр более высокого порядка может быть реализован добавлением следующего элемента задержки. Наиболее просто осуществлять каскадирование фильтров первого и второго порядка. Необходимая для этого факторизованная форма передаточной функции легко может быть получена подстановкой коэффициентов, приведенных на ряс. 13.14, в формулы (2126).
Передаточная функция A(z) блока фильтрации на рис. 22.13 получена тем же способом, что и для фильтра первого порядка. Анализируя схему на рис. 2113, можно записать
С помощью этой схемы можно реализовать любую искомую передаточную функцию фильтра второго порядка.
Теперь, как и в случае фильтров первого порядка, рассмотрим некоторые специфические свойства коэффициентов. Применяя формулы пересчета (22.26) для различных способов фильтрации, можно получить следующие выражения:
для фильтра нижних частот
Рис. 22.13. Цифровой фильтр второго порядка.
Выбор параметров схемы проиллюстрируем числовым примером. Рассмотрим фильтр Чебышева нижних частот второго порядка с неравномерностью 0,5 дБ и затуханием 3 дБ на частоте среза fg = 100 Гц. Аналоговый сигнал занимает полосу 3,4 кГц, а частота выборки fa = 10 кГц. Отсюда получается нормированная частота выборки
Используя формулу (22.21), определяем нормированный коэффициент
Из табл. 13.6 получаем непрерывную пере даточную функцию
Сравнивая найденное выражение с формулой (2223), определяем значения коэффициентов
Подстановка этих значений в формулы (22.26) дает
Из формулы (22.32) находим цифровую передаточную характеристику
которая может быть реализована по схеме, приведенной на рис 22.13.
Отношение частоты выборки к частоте среза для выбранных параметров составляет 100. Частота среза пропорциональна частоте выборки. Следовательно, частотой среза можно управлять с помощью частоты выборки. Это особенность всех цифровых фильтров.
В качестве второго примера рассмотрим полосовой фильтр. Частота выборки, как и в предыдущем примере, составляет 10 кГЦ. Резонансная частота fr = 1 кГц. Следовательно,
При добротности 10 непрерывная передаточная характеристика определяется из формулы (13.24):
С возрастанием добротности и частоты выборки коэффициент Dо всегда уменьшается, тогда как С0 1 и С1 -2. Параметры фильтра очень близки к 1 и -2 соответственно. Это усиливает требования к точности коэффициентов, т. е. нужна большая длина слова в фильтре. Чтобы ограничить аппаратурные затраты, необходимо выбирать частоту выборки по возможности малой.
22.4.3. ПРАКТИЧЕСКИЕ СООБРАЖЕНИЯ
При разработке цифровых фильтров основные затраты связаны с реализацией элементов задания, масштабных коэффициентов, которые обеспечивают умножение сигнала на заданный коэффициент. Длина слова в фильтре должна быть выбрана большей, чем входной или- выходной сигналы, на число разрядов коэффициентов, с тем чтобы при умножении не произошло существенной потери информации. В противном случае, характеристика фильтра будет зависеть от амплитуды. Это ведет к искажениям.
Требования к точности умножителя для коэффициентов, стоящих в знаменателе, тем больше, чем ближе Со к 1 и С1 к — 2. В данном случае можно, однако, ослабить эти требования посредством следующего преобразования:
Здесь С`о = 1 — Со и, очевидно, меньше 1. Этот коэффициент имеет значительно меньше значащих разрядов, чем Со. Чаще всего для фильтра первого порядка достаточно 4 разряда, а для фильтра второго порядка-8 разрядов. Дополнительные аппаратурные затраты для схемы вычитания малы по сравнению с экономией в умножителе. Подобным же образом можно представить коэффициент С1:
