22.3. Билинейное преобразование

Желательно, чтобы цифровые фильтры имели описанную в гл. 13 оптимизированную передаточную функцию аналогового фильтра. Однако, как отмечалось в предыдущем разделе, это невозможно, поскольку цифровой фильтр в отличие от аналогового в диапазоне 0  f   обладает периодической передаточной характеристикой. Однако используемая полоса частот ограничена соотношением 0  f  1/2fa поэтому поставленную задачу в дальнейшем можно видоизменить таким образом, чтобы частотная характеристика сохраняла желаемый вид лишь до значения 1/2fa и периодически не повторялась в области f > 1/2fa.

Для этого можно модифицировать амплитудно- частотную характеристику аналогового фильтра посредством преобразования оси частот, подобно тому как это было сделано при преобразовании фильтра нижних частот в полосовой фильтр, а именно таким образом, чтобы область

Рис. 22.9. Амплитудно- частотнан характеристика в качестве примера характеристики фильтра Чебышева с неравномерностью 3 дБ. Нормированная частота выборки _a = 3. Линейное представление.

0  f   отображалась в область 0  f  1/2fa и на высоких частотах периодически повторялась. Для этого введем

При f, как и требуется,f'1/2fa. При f’  fa имеем f=f'. Искажение частотной оси, следовательно, тем меньше, чем больше тактовая частота/а по сравнению с интересующим нас диапазоном частот.

Оптимизированная передаточная функция в гл. 13 всегда представляется через нормированную частоту  = f/fo- Здесь fо- частота среза, или, точнее, резонансная частота фильтра. Для того чтобы это нормированное представление можно было использовать для вычислений, введем нормированную частоту выборки

В качестве примера преобразования частотной оси на рис. 22.9 приведена амплитудно-частотная характеристика фильтра нижних частот Чебышева 2-го порядка. Видно, что это типичная характеристика пропускания. Конечно, произошел сдвиг частоты среза. Чтобы исключить этот эффект, перед преобразованием нужно сместить кривую частотной характеристики в логарифмическом масштабе настолько, чтобы частоты среза после преобразования совпадали.

Из формулы (22Л9) получаем

При этом ' = 1 при  = 1. Преобразованная частотная характеристика представлена на рис. 22.10. При этом мы интерпретируем формально введенную частоту ' как новую переменную  и обозначаем преобразованную частотную характеристику через A'(j). Очевидно, что полученная характеристика подобна характеристике аналогового фильтра.

Благодаря вышеописанным операциям преобразованная частотная характеристика

Рис. 22.10. Согласование частот среза. В качестве примера приведена характеристика фильтра Чeбышева с неравномерностью 3 дБ. Нормированная частота выборки _a= 5. Логарифмическое представление.

A'(j) имеет вид, позволяющий реализовать цифровой фильтр. Для расчета цифровой передаточной функции A{z) теперь необходимо уравнение преобразования комплексной частотной переменной Р. Подстановка Р = j в формулу (22.20) дает

Это соотношение называется билинейным преобразованием.

Таким образом, аналоговый фильтр можно преобразовать в цифровой следующим образом. В выражение для аналоговой передаточной функции А (Р) вместо нормированной комплексной частотной переменной Р подставляем переменную l(z—1)/(z+1) и получаем передаточную функцию A (z) которая может быть реализована в цифровом фильтре. Амплитудно-частотная характеристика имеет в этом случае вид, подобный характеристике аналогового фильтра. Характеристика сжимается по частоте  таким образом, чтобы значение |A(j )| соответствовало частоте 1/2_a. Появляющееся при этом ослабление тем меньше, чем больше _a по сравнению с представляющим интерес частотным диапазоном 0 <  < _макс.

Фазово-частотная характеристика, естественно, изменяется сильнее. Следовательно, положения, относящиеся к аналоговой технике, нельзя переносить в область цифровых устройств. По этой причине, например, неразумно аппроксимировать амплитудно-частотную характеристику бесселевыми фильтрами, поскольку линейность фазы в этом случае нарушается. Такую задачу аппроксимации целесообразно решать непосредственно в z-области [22.2]. При построении цифровых фильтров, как и для аналоговых фильтров, наиболее просто соединять блоки первого и второго порядка. Поэтому мы произведем пересчет коэффициентов фильтрации. Используя билинейное преобразование, из выражения для аналоговой передаточной функции

находим цифровую передаточную функцию

Для модуля передаточной функции из формулы (22.24) с учетом (22.10) получаем соотношение

Рис. 22.11. Фильтрация непрерывного сигнала-с помощью цифрового фильтра.

Обе функции имеют период a. Если выражение для цифровой передаточной функции А(z) [формула (22.24)] вывести из аналоговой передаточной функции, то модуль и фазу, естественно, значительно проще получить из соотношения (22.23), изменив ось  в соответствии с формулой (22.20), как уже было показано на рис. 22.10.