22. Цифровые фильтры

В гл. 13 был рассмотрен ряд возможных реализации передаточных функций с помощью активных фильтров. Преобразуемым сигналом являлось напряжение, описываемое непрерывной функцией времени. Схемы были построены на основе усилителей, резисторов и конденсаторов.

В последнее время все чаще предпочитают производить обработку сигнала не в аналоговой, а в цифровой форме. Преимущество цифровой обработки заключается как в обеспечении большей точности и воспроизводимости результатов, так и в меньшей чувствительности к помехам. Недостатком является большая сложность схемы, однако значение этого фактора по мере возрастания степени интеграции цифровых схем убывает.

При использовании цифровых фильтров вместо непрерывной величины обрабатывается дискретная цифровая последовательность. Цифровой фильтр содержит арифметический блок и память. При переходе от аналоговых фильтров к цифровым необходимо решить два вопроса:

1) как без потери информации представить непрерывное входное напряжение числовой последовательностью;

2) каким образом необходимо преобразовать числовую последовательность, чтобы добиться реализации искомой передаточной функции. Эти вопросы будут рассмотрены ниже.

22.1. Теорема о дискретизации (теорема о выборках)

22.1.1. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ

Непрерывный входной сигнал может быть преобразован в последовательность дискретных значений, если с помощью элемента выборки-хранения через равные интервалы времени брать значения входного сигнала. Здесь fa = 1/Тa-частота выборки. На рис. 22.1 видно, что соответствующая ступенчатая функция тем ближе к непрерывной входной функции, чем меньше период выборки. Следовательно, увеличивая частоту выборки, можно обеспечить требуемую точность воспроизведения. Однако часто реализовать высокую частоту выборки оказывается затруднительным.

Из теоремы о дискретизации следует, что можно преобразовать входную функцию с помощью выборок, которые производятся на относительно низкой частоте, а затем получить сигнал, близкий к первоначальному, используя соответствующие фильтры. Для этого нужно сделать допущение, что входная функция U₁(t) имеет ограниченную полосу, т.е. спектр F₁(jf) для частот свыше fмакс мало отличается от нуля. Это условие для входного сигнала можно выполнить, пропустив предварительно сигнал через фильтр нижних частот. При этом сигнал не будет заметно искажаться. Ступенчатую функцию, показанную на рис. 22.1, трудно представить в аналитической форме. Как показано на рис. 22.2, ее можно заменить последовательностью импульсов Дирака:

Рис. 22.1. Пример входного сигнала U₁(t) и значения выборок U₁(t).

Рис. 22.2. Представление входного сигнала последовательностью импульсов.

Рис. 22.3. Приближенное представление импульса Дирака посредством конечного импульса напряжения.

Величина U₁(t)T_a изображается стрелкой; она является характеристикой импульса, поскольку по определению импульсы Дирака имеют бесконечно большую амплитуду и бесконечно малую длительность. Площадь каждого из этих импульсов имеет, однако, конечное значение; именно она и характеризует импульс. На рис. 22.3 импульс Дирака в первом приближении представлен прямоугольным импульсом r. При этом справедлив предельный переход

Для того чтобы выяснить, какую информацию содержит записанная в формуле (22.1) последовательность импульсов, рассмотрим их спектр. Используя для выражения (22.1) преобразование Фурье, получаем

Этот спектр является периодическим с периодом, равным частоте выборки fa. Разложив периодическую функцию в ряд Фурье, можно показать, что спектр F₁(jf) в области - fмакс < f < fмакс идентичен исходному спектру F₁(jF) оригинала [22,1]. Следовательно, в нем содержится полная информация, несмотря на то что выбрано лишь малое число значений функции. Исходный спектр не будет искажен, если частота выборки взята такой, чтобы гармоники спектра не перекрывались. Как видно из рис, 22.4, для этого необходимо выполнить условие

которое называется теоремой о дискретизации.