Понятие о функционально полных системах фал. Минимально функционально полные системы. Доказательство того, что системы функций и,или,не ; или,не ; и,не образуют базис.
Система ФАЛ называется функционально полной или базисом, если любая ФАЛ от любого числа переменных может быть выражена как суперпозиция(подстановка в функцию вместоее аргументов других функций) функций этой системы. Из ДСНФ и КСНФ следует, что любую ФАЛ можно выразить через 3 функции: И,ИЛИ, НЕ.
Теорема: система И, ИЛИ, НЕ является функционально полной ( образует базис).
Функционально полная система называется минимальной, если исключение из нее хотя бы одной функции делает ее неполной. Исключим из системы И, ИЛИ, НЕ функцию И и докажем,что базис не является минимальным. Для доказательства выразим И через ИЛИ-НЕ:
X1*X2=
=
– система ИЛИ-НЕ образует базис и
является минимальной.
Если исключить из системы И, ИЛИ, НЕ функцию ИЛИ получим минимальный базис И-НЕ
.
Функции ИЛИ-НЕ (вебба) , И-НЕ(шеффера)
образуют (каждая из них) базис и являются
минимальным.
Логические схемы и и или на диодах при положительной и отрицательной логике.
При положительной:
При отрицательной:
Реализация функций не, и, или на транзисторах.
Транзистор-преобразователь сопротивления- представляет собой полностью управляемый полупроводниковый прибор, обладающий свойством усиления эл.сигналов. средняя область трехслойной структуры- база, крайние- коллектор, эмиттер.
Теорема о том, что функция Вебба образует базис.
Теорема: система И, ИЛИ, НЕ является функционально полной ( образует базис). Функционально полная система называется минимальной, если исключение из нее хотя бы одной функции делает ее неполной. Исключим из системы И, ИЛИ, НЕ функцию И и докажем,что базис не является минимальным. Для доказательства выразим И через ИЛИ-НЕ: X1*X2= = – система ИЛИ-НЕ образует базис и является минимальной.
Не обладает ни одним из 5 свойств и образует полную систему(сохранение 0, сохранение 1,самодвойственности(инвертирование всех аргументов приводит к инверсии значения функции), монотонности, линейности). Следовательно, она составляет полную систему и любое дискретное логическое устройство может быть синтезировано на элементах, реализующих функцию ИЛИ-НЕ
Теорема о том, что функция Шеффера образует базис.
Теорема: система И, ИЛИ, НЕ является функционально полной ( образует базис).
Функционально полная система называется минимальной, если исключение из нее хотя бы одной функции делает ее неполной. Исключим из системы И, ИЛИ, НЕ функцию ИЛИ и докажем, что базис не является минимальным. Для доказательства выразим ИЛИ через И-НЕ:
.
Так же не обладает ни одним из 5 свойств и образует полную систему(сохранение 0, сохранение 1,самодвойственности(инвертирование всех аргументов приводит к инверсии значения функции), монотонности, линейности).
Переход от задания фал в виде формулы к таблице истинности и от таблицы истинности к формуле.
Задана формула
Упрощаем
Строим ТИ
Минимизируем
Записываем функцию
Строим схему