10 Ряды. Гармонический анализ
10.1 Числовые ряды
Числовым рядом называется выражение вида
=
u1
+ u2
+ u3
+ …+ un
+ …,
где un = f(n), nN.
Сумма
первых n
членов ряда называется n
частичной суммой. Ряд является сходящимся,
если существует конечный предел
последовательности частичных сумм
:
.
Число S называется суммой ряда.
Необходимое
условие сходимости ряда.
Если ряд сходится, то
= 0.
Если ряд
(с членами, произвольного знака) cходится,
а ряд
расходится, то ряд
называется условно
сходящимся.
Если ряд с положительными членами
сходится, то сходится и ряд
,
который в этом случае называется
абсолютно
сходящимся.
Признак Даламбера
(достаточный признак сходимости ряда
с положительными членами
):
< 1
ряд сходится;
> 1
ряд расходится;
= 1 требуется дополнительное исследование.
Пример.
Установить сходимость ряда
.
;
.
Не выполнено необходимое условие
сходимости ряда, следовательно, ряд
расходится.
Пример.
Установить сходимость ряда
.
Члены ряда
положительны:
.
ряд расходится
по признаку Даламбера.
Пример.
Установить сходимость ряда
.
Ряд
называется знакочередующимся. Исследуем
поведение ряда с членами
ряд
сходится абсолютно.
10.2 Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
=
а0
+ а1(х
– а)
+ а2(х
– а)2
+ а3(х
– а)3
+ … + аn(х
– а)n
+ …
Множество значений х, при которых ряд сходится, называется областью сходимости. Признак Даламбера дает возможность установить интервал (a – R, a + R), в котором степенной ряд сходится абсолютно (рис. 10.1).
Замечание. Ряд может сходиться только в одной точке х = a или на всей числовой оси.
Рис. 10.1
На границе области сходимости (при х = a – R и х = a + R) требуется дополнительное исследование ряда. Величина R 0 называется радиусом сходимости.
Пример.
Найти область сходимости степенного
ряда
.
;
По признаку
Даламбера:
=
=
=
=
=
=
.
Область абсолютной
сходимости:
<
1
–2
<
х
–1
<
2
–1 < x
< 3.
При x = –1 и x = 3 ряд расходится, т. к. не выполняется необходимое условие сходимости ряда.
10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f(х)
дифференцируема любое число раз в точке
а
и некоторой ее окрестности U(a)
(при этом
для х U(a)
и n),
то в этой окрестности функция f(х)
может быть представлена рядом
Тейлора:
f(х)
= f(а)
+
(х
– а)
+
(х
– а)2
+…+
(х
– а)n+…=
=
.
При а = 0 ряд Тейлора принимает вид:
f(х)
= f(0)
+
х
+
х2
+…+
хn
+ … =
и называется рядом Маклорена.
Пример. Функцию f(х) = х4 – 3х2 + 2х + 7 разложить в ряд Тейлора по степеням (х – 2).
f(х) = х4 – 3х2 + 2х + 7 |
|
f(2) = 16 – 12 + 4 + 7 = 15; |
f (х) = 4х3 – 6х + 2 |
|
f (2) = 22; |
f (х) = 12х2 – 6 |
|
f (2) = 42; |
f (х) = 24х |
|
f (2) = 48; |
f IV(х) = 24 |
|
f IV(2) = 24; |
f (n)(х) = 0. |
|
при
|
f(х)
= 15 +
(х
– 2) +
(х
– 2)2
+
(х
– 2)3
+
(х
– 2)4
=
= 15 + 22(х – 2) + 21(х – 2)2 + 8(х – 2)3 + (х – 2)4.
Пример. Функцию f(х) = sinх разложить в ряд Маклорена (рис. 10.2).
|
|
|
f
(х)
=
|
|
|
f
(х)
=
|
|
|
f
(х)
=
|
|
|
f
IV(х)
=
|
|
|
;
;
;
;
.
sinx
= х
–
Этот ряд сходится хR.
Рис. 10.2
Замечание. Аналогично выводятся:
,
сходящийся при –
< х <
;
,
сходящийся при –
< х <
;
сходящийся
при –1 < х
<
1 (биномиальный ряд).