Задачи для самостоятельного решения

№	Задание
1	Частная производная функции по переменной y равна 1) 2) 3) 4)
2		Частная производная функции по переменной х в точке M(1; /2) равна
3		В точке М(1; 0) у функции z = x4cosy сумма равна
4	Для функции  справедливы соотношения 1) 2) 3) 4)
5	Точное значение , приближенное значение . Относительная погрешность приближенного значения равна
6	Уравнение нормали к поверхности в точке (1; 2; 3) имеет вид 1) 2) 3) 4)
7	Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (1; 2; 3) имеет вид 1) 2) 3) 4)
8	Сумма координат стационарной точки функции равна
9	Функция f(х; у) имеет частные производные второго порядка: . Тогда в стационарной точке 1) достигается максимум 2) достигается минимум 3) нет экстремума 4) требуются дальнейшие исследования фукции
10	Условные экстремумы функции при условии достигаются в стационарных точках функции Лагранжа 1) 2) 3) 4).
11	Записать уравнения линий уровня для скалярного поля u = 1 – x2 + y2
12	Градиент скалярного поля u = xy равен 1) y + x 2) x + y 3) xy + 4) + xy
13	Модуль градиента скалярного поля u = xy2z в точке М(1; 1; –2) равен
14	Производная скалярного поля u = xy в точке М(1; 1) в направлении единичного вектора = (0; 1) равна

9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля

9.1 Двойной интеграл

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой замкнутой ограниченной области D в плоскости . Разобьем область D какими-нибудь линиями на n частей (площадок) S₁, S₂,…, S_n. Внутри каждой области S_i возьмем точку P_i. Тогда будем иметь n точек P₁, P₂,…, P_n. Обозначим через f(P₁), f(P₂), …, f(P_n), значения функций в выбранных точках. Выражение называется интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Определение. Если существует предел последовательности интегральных сумм при максимальном диаметре площадки стремящемся к 0 (при этом ) и этот предел не зависит ни от способа разбиения области D на элементарные площадки, ни от способа выбора точек P_iS_i, то он называется двойным интегралом от f(x, y) по области D и обозначается:

или .

Таким образом, . Область D называется областью интегрирования.

Для непрерывных в области D функций справедливы свойства линейности и аддитивности, т.е.

,

где ,  – const.

,

где область D = D₁ D₂ – представляет собой объединение двух областей D₁ и D₂.

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом.

Пусть область D ограничена кривыми , причем и непрерывны на [a; b] и . В этой области всякая прямая, параллельная оси Oy и проходящая внутри отрезка [a; b] пересекает границу области в двух точках. Такая область называется простой вида1. Двойной интеграл по такой области вычисляется повторным интегрированием по формуле:

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной y (x в этом случае является параметром), а полученный результат интегрируется по x. Заметим при этом, что если кривые или в промежутке [a; b] задаются различными аналитическими выражениями, например, , то интеграл записывается в виде суммы интегралов .

Пусть область D ограничена кривыми , причем непрерывны всюду на [c; d] и . В этой области всякая прямая, параллельная оси и проходящая внутри отрезка [c; d] пересекает границу области в двух точках. Такая область также называется простой. Двойной интеграл по такой области вычисляется повторным интегрированием по формуле:

,

причем сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной x (y в этом случае является параметром), а полученный результат интегрируется по y.

Пример. Вычислить , где область D задана неравенствами x  y   и 0  x  1.