
- •Часть II
- •8 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •8.1 Функции двух независимых переменных
- •8.2 Частные производные
- •9.3 Полный дифференциал
- •8.4 Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •8.5 Экстремумы функций двух переменных
- •8.6 Условный экстремум
- •8.7 Наибольшее и наименьшее значения функции
- •8.8 Метод наименьших квадратов
- •8.9 Производная по направлению. Градиент
- •Задачи для самостоятельного решения
- •9 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля
- •9.1 Двойной интеграл
- •9.2 Перемена порядка интегрирования
- •9.3 Вычисление площадей и объемов
- •9.4 Криволинейный интеграл по длине дуги
- •9.5 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла по длине дуги
- •9.5 Криволинейный интеграл по координатам
- •9.6 Формула Грина-Остроградского
- •9.7 Независимость криволинейного интеграла 2-го рода от формы дуги кривой
- •9.8 Геометрические и механические приложения криволинейных интегралов 2-го рода
- •Задачи для самостоятельного решения
- •10 Ряды. Гармонический анализ
- •10.1 Числовые ряды
- •10.2 Степенные ряды
- •10.3 Ряды Тейлора и Маклорена
- •10.4 Тригонометрические ряды Фурье
- •Задачи для самостоятельного решения
- •11 Дифференциальные уравнения
- •11.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
- •11.2 Основные типы уравнений первого порядка
- •11.3 Понижение порядка уравнения
- •11.4 Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
- •12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
- •12.1 Оригиналы и изображения
- •12.2 Теоремы операционного исчисления
- •12.3 Таблица изображений
- •12.4 Свёртка функций
- •12.5 Нахождение оригинала по изображению
- •12.6 Операционный метод решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Методы решения уравнений математической физики
- •12.7 Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •13 Теория вероятностей
- •13.1 Классическое определение вероятности
- •Основные свойства вероятности
- •13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
- •13.3 Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •13.4 Схема Бернулли
- •13.5 Функция и плотность распределения вероятностей
- •13.6 Свойства функции и плотности распределения вероятностей
- •13.7 Числовые характеристики случайных величин
- •13.8 Свойства математического ожидания и дисперсии
- •13.9 Основные законы распределения вероятностей случайных величин
- •13.10 Связь между случайными величинами
- •Задачи для самостоятельного решения
- •14 Математическая статистика
- •14.1 Эмпирическая функция распределения. Гистограмма
- •14.2 Точечные и интервальные оценки параметров
- •14.3 Статистические гипотезы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение а. Таблица значений функции Лапласа ф0(х)
- •Приложение б. Основные математические обозначения
Основные свойства вероятности
1. Р() = 1.
2. Р() = 0.
3.
.
4.
,
если события А
и В
несовместны.
5. Р(А В) = , если события А и В несовместны.
6.
.
7.
,
если событие В
всегда происходит, когда происходит А.
Если испытание
моделируется выбором наудачу точки
области
(
–
«площадь» («длина», «объем»)
),
то вероятность попадания случайной
точки в область А
(А)
пропорциональна
«площади»
(«длине», «объему») области
А и не зависит
от ее расположения в .
Условной
вероятностью
события А
относительно события В
называется вероятность события А,
вычисленная в предположении, что событие
В
произошло. События
А
и В
называются независимыми,
если
= Р(А)
и
= Р(В).
Пример. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того, что число на верхней грани будет больше 4.
Элементарные исходы (выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6) единственно возможны, попарно несовместны и равновозможны, следовательно, n = 6. Событие А = {число больше 4} происходит при появлении 5 или 6. Имеется два благоприятствующих событию А исхода, следовательно, m = 2.
Р(А)
=
=
=
.
Пример. В урне 3 синих, 4 красных и 5 белых шаров. Из урны наугад достают один шар. Найти вероятности событий А = {извлечен красный шар}, В = {извлечен цветной шар}, С = {извлечен белый шар}.
Общее число исходов
Число исходов mA,
благоприятствующих событию А,
равно 4.
Число исходов mВ,
благоприятствующих событию В,
равно 3 + 4 = 7.
.
Число исходов
mС,
благоприятствующих событию С,
равно 5.
.
Замечание.
Событие С противоположно событию
В, следовательно,
.
Пример. В квадрат со стороной 6 брошена точка. Вычислить вероятность того, что она попадает в закрашенную область. Площадь
квадрата:
|
|
Площадь треугольника:
.
Вероятность
.
13.2 Теоремы умножения и сложения вероятностей
Теорема умножения вероятностей: Р(А В) = Р(А)Р(В/А);
для независимых событий: Р(А В) = Р(А)Р(В)).
Теорема сложения
вероятностей: Р(А
В)
= Р(А)
+ Р(В)
– Р(А
В);
для несовместных событий: Р(А В) = Р(А) + Р(В);
для независимых событий: Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)).
Пример. Два стрелка независимо друг от друга выполняют по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания первого и второго стрелков равны 0,4 и 0,7 соответственно. Найти вероятность попадания в мишень.
Обозначим
А = {попадание 1-м стрелком},
В = {попадание 2-м стрелком}.
Тогда А В = {попадание в мишень}.
Применяя теорему сложения для независимых событий, получаем
Р(А В) = Р(А) + Р(В) – Р(А)Р(В)) = 0,4 + 0,7 – 0,4 0,7 = 0,82.
Пример. Выполняется два выстрела по мишени с вероятностями попадания 0,4 при первом выстреле и 0,7 при втором выстреле. Вероятность поражения центра мишени при попадании равна 0,6. Найти
1) вероятность попадания в мишень;
2) вероятность поражения центра мишени при первом выстреле;
3) вероятность поражения центра мишени при двух выстрелах;
4) вероятность поражения центра мишени только вторым выстрелом. Обозначим
А = {попадание при 1-м выстреле},
В = {попадание при 2-м выстреле},
С = {поражение центра мишени}. Тогда
A B = {попадание в мишень},
A C = {поражение центра мишени при первом выстреле},
(В
С)
= {поражение центра мишени только вторым
выстрелом}.
1) Р(А В) = 0,4 + 0,7 – 0,4 0,7 = 0,82 .
2) Р(А С) = 0,4 0,6 = 0,24 .
3) Р(С) = Р((А С) (В С)) = 0,24 + 0,42 – 0,24 0,42 = 0,56.
4) Р(( ) (В С) = (1 – 0,24) 0,42 = 0,32.
Пример.
Определить
надежность системы, составленной из
шести независимо работающих элементов.
Надежности элементов:
Схема соединения элементов представлена
на рисунке 13.2а.
Рис. 13.2а Рис. 13.2б
Рис. 13.2в
Элементы (2) и (3)
соединены последовательно. Заменяем
их элементом (2,3)
с надежностью
.
Элементы (4) и (5) соединены параллельно.
Заменяем их элементом (4,5) с надежностью
.
Вместо исходной системы рассматриваем
эквивалентную ей систему элементов
(1), (2,3), (4,5), (6), соединенных по схеме на
рис. 13.2б. Элементы (1) и (2,3) соединены
параллельно, их надежность определяется
формулой
.
Элементы (4,5), (6)
соединены параллельно, их надежность
равна
Таким образом, вместо исходной системы
мы можем рассматривать систему из двух
последовательно соединенных элементов
(1,2,3) и (4,5,6) с надежностями
и
соответственно (рис. 13.2в). Надежность
этой системы
.
Подставляя
надежности элементов, получим для
надежности системы