12 Операционное исчисление. Уравнения математической физики
12.1 Оригиналы и изображения
Определение.
Функция
,
определенная на интервале
,
называется оригиналом,
если
1) 
при
;
2) – непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода на любом конечном отрезке;
3) существуют
такие вещественные числа М > 0
и
0,
что
для всех положительных значений t.
Для всякого
оригинала f(t)
существует
единственная функция
комплексной
переменной p = s + i,
определенная в комплексной полуплоскости
Rep = s >
(рис. 12.1). Функция
называется изображением
оригинала
f(t).
Правая
часть равенства называется интегралом
Лапласа, а переход от
оригинала f(x)
к изображению F(p) – преобразованием
Лапласа.
Запись
f(t) F(p)
означает, что оригиналу f(t)
соответствует изображение F(p)
и наоборот.
Рис. 12.1
Простейшим оригиналом является функция Хэвисайда – единичная ступенчатая функция (рис. 12.2):
Рис. 12.2
Изображение функции
Хэвисайда:
.
Функция Хэвисайда используется для представления сигналов, включающихся в определённый момент времени. Если (t) удовлетворяет условиям 2 и 3, то функция f(t) = (t)1(t) является оригиналом. Далее вместо произведения (t)1(t) используется запись f(t), где f(t) 0 при t < 0.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = еаt, аR.
F(p)
=
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sh(ωt), R.
По
определению
.
Тогда
.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = sin(ωt), R.
Применяя
формулу Эйлера
,
получаем
,
и выражаем
.
Тогда
.
Пример. Найти изображение функции ƒ(t) = t.
При вычислении
изображения F(p)
применим формулу интегрирования по
частям:
.
12.2 Теоремы операционного исчисления
1. Теорема линейности.
Если f1(t) F1(p), f2(t) F2(p), то
с1f1(t) + с2f2(t) с1F1(p) + с2F2(p),
где с1, с2 – постоянные.
2. Теорема подобия.
Если f(t) F(p),
то f(t) 
при
,
3. Теорема смещения.
Если f(t) F(p),
то
F(p + ).
4. Теорема запаздывания.
Если f(t) F(p) то f(t – ) e–pF(p) при > 0 (рис. 12.3, 12.4).
-
Рис. 12.3
Рис. 12.4
Пример. Найти изображение единичного импульса (рис. 12.5)
Единичный импульс
с помощью функции Хевисайда можно
представить (рис. 12.2,
12.6)
в виде разности f(t) = 
.
Рис. 12.5 |
Рис. 12.6 |
Учитывая 1(t) 
,
по теореме запаздывания запишем
1(t – 1) 
.
Теперь
.
5. Теорема дифференцирования оригиналов.
Если f(t)
F(p),
то
.
Доказательство.
.
Следствие.
Если
– п-раз
дифференцируемая функция, все производные
которой являются оригиналами, то для
производной k-го
порядка,
,
справедлива формула:
.
При нулевых
начальных условиях
последняя формула принимает вид
.
6. Теорема интегрирования оригиналов.
Если f(t) F(p),
то
.
Доказательство.
Пусть
– оригинал, которому соответствует
изображение G(p).
Учитывая, что
и
,
по теореме дифференцирования оригиналов
получаем pG( p) = F(p).
Следовательно,
или
.
7. Теорема дифференцирования изображений.
Если f(t) F(p),
то
–
.
Следствие.
.
8. Теорема интегрирования изображений.
Если f(t) F(p)
и
сходится, то
.