10.4 Тригонометрические ряды Фурье
Если периодическая (пункт 5.5) функция f(х) и её производная f (х) на периоде Т = 2l непрерывны, либо имеют не более чем конечное число разрывов первого рода (пункт 5.8), то во всех точках непрерывности справедливо равенство
f(х)
=
,
где
,
,
.
Ряд в правой части
равенства называется тригонометрическим
рядом Фурье
функции
В точках разрыва функции f(х)
правая часть равенства принимает
значение
.
Cумма
может быть представлена (рис. 10.3) в виде
гармоники Аnsin(nx + n),
т. е. синусоидального колебания с
амплитудой Аn = 
,
фазой
,
частотой
,
круговой (угловой) частотой
,
периодом
.
Рис. 10.3
Ряд Фурье для четных функций. Если f(х) – чётная функция (пункт 5.5), то коэффициенты bn ряда Фурье равны нулю и разложение f(х) содержит только косинусы (разложение по косинусам):
f(х) = 
;
;
.
Ряд Фурье для нечетных функций. Если f(х) – нечётная функция, то нулю равны коэффициенты аn и разложение содержит только синусы (разложение по синусам):
f(х)
=
;
.
Пример.
Записать уравнение гармонических
колебаний с амплитудой 3, частотой ν = 
и фазой
.
=
2ν = ,
f(х) = 3sin(х
+
).
Пример. Установить вид ряда Фурье для функции, график которой представлен на рисунке 10.4. Функция f(х) не обладает свойствами чётности или нечётности, следовательно, ряд Фурье имеет вид:
|
Рис. 10.4 |
.
Пример. Записать разложение в ряд Фурье чётной функции f(х), заданной на отрезке [–2, 2].
f(х)
– чётная, l
= 2
f(х)
=
,
где
,
аn
=
.
Пример. Записать ряд Фурье для периодической функции, график которой представлен на рисунке 10.5.
Функция f(х) – чётная, l = , f(х) = – х на отрезке [0; π].
Рис. 10.5
а0
=
=
=
=
;
(пункт 7.3);
аn
=
=
=
=
,
т. к.
;
.
Задачи для самостоятельного решения
№ |
Задание |
|||
1 |
Если формула
n-го
члена числовой последовательности
имеет вид
|
|
|
|
2 |
Необходимый
признак сходимости числового ряда
1)
3)
|
|
|
|
3 |
Установите соответствие между рядами и их названиями.
1)
2)
3)
|
|
|
|
4 |
Если
1) 1,5 2) 2 3) 0,5 4) –2 |
|
|
|
5 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
6 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
7 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
8 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
9 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
10 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
11 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
12 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
13 |
Установить
сходимость или расходимость числового
ряда
|
|||
14 |
Установить
область сходимости ряда
|
|||
15 |
Установить
область сходимости ряда
|
|||
16 |
Установить
область сходимости ряда
|
|||
17 |
Установить
область сходимости ряда
|
|||
18 |
Разложить функцию
|
|||
19 |
Разложить функцию
|
|||
20 |
Разложить функцию
|
|||
21 |
Разложить функцию по степеням х, используя стандартные разложения. |
|||
22 |
Разложить функцию
|
|||
23 |
Вычислить
|
|||
24 |
Вычислить
|
|||
25 |
Найти первые
пять членов разложения в ряд Маклорена
частного решения дифференциального
уравнения
|
|||
26 |
Периодической является функция
1)
3)
|
|
|
|
27 |
График функции f(x) при х[0; 2π] и его периодическое продолжение заданы на рисунке.
Тогда ряд Фурье для этой функции имеет вид
1)
3)
|
|
|
|
28 |
Разложить функцию
Т = 2. |
|||
29 |
Разложить функцию
|
|||
30 |
Разложить в ряд по косинусам функцию
|
|||
,
то 
равно
записывается в виде
2)
4)
A)
знакочередующийся
B)
степенной.
С)
знакоположительный.
,
то ряд сходится при q,
равном
по определению.
по определению.
.
.
.
.
по степеням (х
– 2).
по степеням х,
используя стандартные разложения.
по степеням х,
используя стандартные разложения.
по степеням х
– 1,
используя стандартные разложения.
с
точностью до 0,001.
с
точностью до 0,001.
.
Начальные условия:
.
2)
4)
2)
4)
в ряд Фурье.
в ряд Фурье, заданную на отрезке [–1,
1].
,
заданную на отрезке [0,
2].