- •1. Вероятностное пространство.
- •1.1. Пространство элементарных событий.
- •1.2. Операции над событиями.
- •1.3. Алгебра событий.
- •2. Классический подход к вычислению вероятностей.
- •2.1. Элементы комбинаторики.
- •3. Геометрический подход к вычислению вероятностей.
- •4. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей.
- •5. Теорема сложения вероятностей.
- •6. Надежность элементов и систем.
- •7. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •8. Схема Бернулли.
- •9. Локальная формула Муавра – Лапласа.
- •10. Интегральная формула Муавра – Лапласа.
- •11. Формула Пуассона.
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
8. Схема Бернулли.
Схемой Бернулли называется последовательность независимых испытаний с двумя исходами и в каждом испытании. Вероятности не зависят от номера испытания. Обозначим – число появлений события в испытаниях Бернулли.
Основные задачи на схему Бернулли.
1. Вероятность того, что событие в испытаниях Бернулли появилось раз определяется формулой
. (16)
2. Вероятность того, что событие в испытаниях Бернулли появилось не менее раз, но не более раз, определяется формулой
. (17)
3.Наивероятнейшее число события в испытаниях Бернулли определяется из двойного неравенства
(18)
Пример 8.1.
Симметричная игральная кость подбрасывается 6 раз. Пусть – число появлений «3» в 6 испытаниях. Найти вероятности событий
1) = 2, 2) 5, 3) < 5, 4)
5) найти наивероятнейшее число появлений «3» в шести испытаниях и ( = ).
Решение.
Условие задачи можно описать схемой Бернулли: – событие на верхней грани игральной кости появляется «3», – на верхней грани «3» не появляется, т.е. появляются «1», «2», «4», «5» или «6». По классической схеме получаем .
1) По формуле (16) получаем
.
2) В условиях рассматриваемого эксперимента событие
( 5) = ( ) = ( =5) + ( = 6).
По формуле (16) получаем
.
3) Событие ( < 5) является противоположным событию ( 5):
( < 5) = . Следовательно,
( < 5) = 1 – = 1– 0,0006 = 0,9993.
4) Событие ( ) = ( .
Для вычисления ( ) используем формулу (17)
( )= ( =3)+ ( =4)= .
5) наивероятнейшее число появления «3» в 6 испытаниях найдем из двойного неравенства (18)
.
Вероятность этого события определяем по формуле (16)
.
9. Локальная формула Муавра – Лапласа.
Вычисления по формуле (16) для больших значений практически невозможны. Используются различные приближенные формулы. Так для вероятностей , близких к 0,5 и больших значений используется локальная формула Муавра – Лапласа:
, (19)
где – параметры схемы Бернулли.
Функция называется локальной функцией Лапласа.
Свойства функции : 1) ; 2)
Формула (19) дает большую погрешность для вероятностей, близких к нулю и единице.
Пример 9.1.
Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Принята для реализации партия из 300 изделий. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей и его вероятность.
Решение.
Имеем схему Бернулли с параметрами:
.
– событие, что деталь стандартна. Наивероятнейшее число стандартных деталей находится из двойного неравенства (18):
.
Согласно формуле (13) вероятность события равна
.
Используем локальную формулу Муавра – Лапласа (19)
.
По таблице локальной функции Лапласа находим 0,3989.
Следовательно, .
Ответ: 0,077.
10. Интегральная формула Муавра – Лапласа.
При больших значениях формула (17) непригодна для вычислений. Используется интегральная формула Муавра – Лапласа, согласно которой
, (20)
где .
Функция называется интегральной функцией Лапласа. Она связана со стандартной функцией Лапласа соотношением (21)
Свойства функции : 1) ;
2) .
Для функций , составлены таблицы.
Интегральная формула Лапласа (20) позволяет оценить вероятность отклонения частоты события от вероятности этого события :
. (22)
Пример 10.1.
Вероятность того, что деталь, изготовленная на станке – автомате, является стандартной, равна 0,8. Изготовлено 150 деталей. Найти вероятность того, что стандартных деталей в этой партии не менее 100, но не более 120.
Решение.
Считаем процесс изготовления деталей последовательностью независимых испытаний с двумя исходами: – изготовленная деталь стандартна, – изготовленная деталь нестандартна.
Тогда =150, = 0,8, = 0,2.
Согласно формуле (17)
.
Используем интегральную формулу Лапласа (20):
.
Имеем .
По таблице функции находим значения стандартной функции Лапласа . Следовательно,
Ответ: 0,5.
Пример 10.2.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,1. Производится 400 выстрелов. Найти вероятность того, что частота попадания в мишень отклонится от вероятности попадания в мишень по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение.
Согласно формуле (22)
Ответ: 0,954.
Пример 10.3.
Сколько раз нужно подбросить симметричную игральную кость, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота появления «6» на верхней грани отличается по абсолютной величине от вероятности появления «6» не более чем на 0,1.
Решение. Событие − на верхней грани игральной кости выпадает цифра «6». Событие − на верхней грани выпадает одно из чисел 1, 2, 3, 4, 5. По классической схеме .
По условию задачи . Из формулы (22) следует
По таблице стандартной функции Лапласа находим значение аргумента, соответствующего . Следовательно, .
Ответ: 38.
Пример 10.4.
Вероятность появления события в схеме независимых испытаний Бернулли равна 0,3, число испытаний = 400. Найти отклонение частоты события от его вероятности по абсолютной величине, если вероятность этого события равна 0,9.
Решение.
По условию задачи
Из формулы (18) имеем .
Значение аргумента, соответствующего функции находим из таблицы: .
Находим из уравнения: .
Ответ: 0,04.