![](/user_photo/59031_ixqng.jpg)
- •1. Вероятностное пространство.
- •1.1. Пространство элементарных событий.
- •1.2. Операции над событиями.
- •1.3. Алгебра событий.
- •2. Классический подход к вычислению вероятностей.
- •2.1. Элементы комбинаторики.
- •3. Геометрический подход к вычислению вероятностей.
- •4. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей.
- •5. Теорема сложения вероятностей.
- •6. Надежность элементов и систем.
- •7. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •8. Схема Бернулли.
- •9. Локальная формула Муавра – Лапласа.
- •10. Интегральная формула Муавра – Лапласа.
- •11. Формула Пуассона.
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
6. Надежность элементов и систем.
Надежностью
элемента
(системы) называется вероятность
безотказной работы системы в течение
некоторого промежутка времени [
].
Расчет надежности системы зависит от
структуры системы, определяемой схемой
расположения составляющих ее элементов.
Рассмотрим два простейших случая
расположения элементов системы.
1) элементов системы (1), (2), . . ., ( ) объединены в системе последовательно, если (по аналогии с электрической цепью) система безотказно работает тогда и только тогда, когда работают все ее элементы (рис. 3). Отказ такой системы происходит тогда и только тогда, когда отказывает хотя бы один элемент системы.
…
:
Рис.3 Рис.4
Пусть
– событие, состоящее в том, что
–
ый элемент системы работает безотказно
в течение времени
.
Тогда
–
событие –
–
ый элемент системы отказывает в течение
времени
.
Вероятности этих событий связаны
соотношением:
.
Событие
(система из
последовательно
соединенных элементов работает в течение
промежутка времени
)
определяется как
Если элементы системы работают независимо друг от друга (события независимы в совокупности), то надежность системы определяется по формуле
(11)
Если события не являются независимыми в совокупности, то для определения надежности системы нужно значь условные вероятности работы ее элементов
(12)
2)
элементов
системы (1), (2), . . ., (
)
объединены в системе параллельно,
если в течение времени
система откажет тогда и только тогда,
когда откажут все ее
элементов. Работу такой системы
обеспечивает хотя бы один работающий
элемент (рис.4).
Событие
–
отказ системы в течение времени
определяется как
.
Надежность системы
.
Если события
независимы в совокупности, то надежность
системы определится формулой
или
(13)
Пример 6.1.
Определить надежность системы, составленной из шести независимо работающих элементов. Схема соединения элементов представлена на рис.5. Надежности элементов:
Решение.
Рис.5. Рис.6.
Рис. 7.
Элементы (2) и (3)
соединены последовательно. Заменяем
их элементом (2,3)
с надежностью
.
Элементы (4) и (5)
соединены параллельно. Заменяем их
элементом (4,5) с надежностью
.
Вместо исходной системы рассматриваем эквивалентную ей систему элементов (1), (2,3), (4,5), (6), соединенных по схеме на рис.6.
Элементы (1) и
(2,3) соединены параллельно, их надежность
определяется формулой
.
Элементы (4,5), (6) соединены параллельно, их надежность равна
Таким образом,
вместо исходной системы мы можем
рассматривать систему из двух
последовательно соединенных элементов
(1,2,3) и (4,5,6) с надежностями
и
соответственно (рис. 7). Надежность этой
системы
.
Подставляя
надежности элементов из таблицы 1,
получим для надежности системы
Ответ: 0,865.