![](/user_photo/59031_ixqng.jpg)
- •1. Вероятностное пространство.
- •1.1. Пространство элементарных событий.
- •1.2. Операции над событиями.
- •1.3. Алгебра событий.
- •2. Классический подход к вычислению вероятностей.
- •2.1. Элементы комбинаторики.
- •3. Геометрический подход к вычислению вероятностей.
- •4. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей.
- •5. Теорема сложения вероятностей.
- •6. Надежность элементов и систем.
- •7. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •8. Схема Бернулли.
- •9. Локальная формула Муавра – Лапласа.
- •10. Интегральная формула Муавра – Лапласа.
- •11. Формула Пуассона.
- •Список рекомендуемой литературы
- •Содержание
3. Геометрический подход к вычислению вероятностей.
Классическую формулу вероятности нельзя применить, если число равновозможных исходов бесконечно. Геометрическое определение вероятности приспособлено для описания такой ситуации.
Пусть пространство
элементарных событий
– ограниченное множество
– мерного
пространства
,
имеющего меру
.
Если
,
то
–
длина отрезка. Опыт состоит в выборе
наудачу точки этого отрезка. Если
,
то
–
площадь области и опыт состоит в выборе
наудачу точки этой области и т.д. В
качестве
–
алгебры
берется множество подмножеств
,
имеющих меру.
Если условия опыта
таковы, что вероятность
попадания случайной точки в область
с мерой
пропорциональна мере
,
то имеет место формула геометрической
вероятности
.
(5)
Пример 3.1.
Из области
,
определяемой неравенствами
,
наудачу выбирается точка. Найти
вероятность
того, что точка попадет в область
,
определяемую неравенствами
(рис. 1).
Решение.
Пространство элементарных событий – это множество точек области − область ОАВО. Площадь этой области определяется двойным интегралом
.
Множество
благоприятствующих событию
исходов – это область
−
область ОАО. Ее площадь определяется
как
.
Тогда
.
у
у
4 В
A
l
y=2x
y=x
M С
l/2
1 А
О О К В
0 1 2 х 0 l/2 l х
Рис.1 Рис.2
Ответ: 1/8.
Пример 3.2.
Отрезок длины произвольно разделен на три части. Найти вероятность того, что из полученных трех частей можно составить треугольник (событие ).
Решение.
Обозначим длины
получившихся отрезков через
.
По условию задачи
.
В треугольнике разность сторон меньше третьей стороны, а сумма сторон больше третьей стороны. Следовательно, можно считать, что
.
Т
ак
как
.
Но
следовательно,
.
Пространство
элементарных событий
– это множество точек
,
определяемое неравенствами
(рис.2, область
).
Множество элементарных событий,
благоприятствующих событию
,
образуют область, определяемую
неравенствами
(рис.2, область
).
Находим площади вышеуказанных областей:
По формуле геометрической вероятности (5)
.
Ответ: 1/4.