8. Схема Бернулли.
Схемой Бернулли
называется последовательность независимых
испытаний с двумя исходами
и
в каждом испытании. Вероятности
не зависят от номера испытания. Обозначим
–
число появлений события
в
испытаниях Бернулли.
Основные задачи на схему Бернулли.
1. Вероятность того, что событие в испытаниях Бернулли появилось раз определяется формулой
.
(16)
2. Вероятность
того, что событие
в
испытаниях Бернулли появилось не менее
раз, но не более
раз, определяется формулой
.
(17)
3.Наивероятнейшее
число
события
в
испытаниях Бернулли определяется из
двойного неравенства
(18)
Пример 8.1.
Симметричная
игральная кость подбрасывается 6 раз.
Пусть
– число появлений «3» в 6 испытаниях.
Найти вероятности событий
1)
=
2, 2)
5, 3)
< 5, 4)
5) найти наивероятнейшее число появлений «3» в шести испытаниях и ( = ).
Решение.
Условие задачи
можно описать схемой Бернулли:
– событие на верхней грани игральной
кости появляется «3»,
– на верхней грани «3» не появляется,
т.е. появляются «1», «2», «4», «5» или «6».
По классической схеме получаем
.
1) По формуле (16) получаем
.
2) В условиях рассматриваемого эксперимента событие
(
5) = (
)
= (
=5)
+ (
=
6).
По формуле (16)
получаем
.
3) Событие ( < 5) является противоположным событию ( 5):
(
< 5) =
.
Следовательно,
( < 5) = 1 – = 1– 0,0006 = 0,9993.
4) Событие (
)
= (
.
Для вычисления
(
)
используем формулу (17)
(
)=
(
=3)+
(
=4)=
.
5) наивероятнейшее число появления «3» в 6 испытаниях найдем из двойного неравенства (18)
.
Вероятность этого события определяем по формуле (16)
.
9. Локальная формула Муавра – Лапласа.
Вычисления по
формуле (16) для больших значений
практически
невозможны. Используются различные
приближенные формулы. Так для вероятностей
,
близких к 0,5 и больших значений
используется локальная формула Муавра
– Лапласа:
,
(19)
где
– параметры схемы Бернулли.
Функция
называется
локальной функцией Лапласа.
Свойства функции
:
1)
;
2)
Формула (19) дает большую погрешность для вероятностей, близких к нулю и единице.
Пример 9.1.
Вероятность того, что изделие стандартно, равна 0,9. Принята для реализации партия из 300 изделий. Найти наивероятнейшее число стандартных деталей и его вероятность.
Решение.
Имеем схему
Бернулли с параметрами:
.
– событие, что
деталь стандартна. Наивероятнейшее
число
стандартных
деталей находится из двойного неравенства
(18):
.
Согласно
формуле (13) вероятность события
равна
.
Используем локальную формулу Муавра – Лапласа (19)
.
По таблице локальной
функции Лапласа находим
0,3989.
Следовательно,
.
Ответ: 0,077.
10. Интегральная формула Муавра – Лапласа.
При больших значениях формула (17) непригодна для вычислений. Используется интегральная формула Муавра – Лапласа, согласно которой
,
(20)
где
.
Функция
называется интегральной функцией
Лапласа. Она связана со стандартной
функцией Лапласа
соотношением
(21)
Свойства функции
:
1)
;
2)
.
Для функций , составлены таблицы.
Интегральная
формула Лапласа (20) позволяет оценить
вероятность отклонения частоты события
от
вероятности этого события
:
.
(22)
Пример 10.1.
Вероятность того, что деталь, изготовленная на станке – автомате, является стандартной, равна 0,8. Изготовлено 150 деталей. Найти вероятность того, что стандартных деталей в этой партии не менее 100, но не более 120.
Решение.
Считаем процесс изготовления деталей последовательностью независимых испытаний с двумя исходами: – изготовленная деталь стандартна, – изготовленная деталь нестандартна.
Тогда
=150,
= 0,8,
= 0,2.
Согласно формуле (17)
.
Используем интегральную формулу Лапласа (20):
.
Имеем
.
По таблице функции
находим
значения стандартной функции Лапласа
.
Следовательно,
Ответ: 0,5.
Пример 10.2.
Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,1. Производится 400 выстрелов. Найти вероятность того, что частота попадания в мишень отклонится от вероятности попадания в мишень по абсолютной величине не более чем на 0,03.
Решение.
Согласно формуле (22)
Ответ: 0,954.
Пример 10.3.
Сколько раз нужно подбросить симметричную игральную кость, чтобы с вероятностью 0,9 утверждать, что частота появления «6» на верхней грани отличается по абсолютной величине от вероятности появления «6» не более чем на 0,1.
Решение.
Событие
− на верхней грани игральной кости
выпадает цифра «6». Событие
− на верхней грани выпадает одно из
чисел 1, 2, 3, 4, 5. По классической схеме
.
По условию задачи
.
Из формулы (22) следует
По таблице
стандартной функции Лапласа находим
значение аргумента, соответствующего
.
Следовательно,
.
Ответ: 38.
Пример 10.4.
Вероятность появления события в схеме независимых испытаний Бернулли равна 0,3, число испытаний = 400. Найти отклонение частоты события от его вероятности по абсолютной величине, если вероятность этого события равна 0,9.
Решение.
По условию задачи
Из формулы (18) имеем
.
Значение аргумента,
соответствующего функции
находим из таблицы:
.
Находим
из уравнения:
.
Ответ: 0,04.