1.3. Алгебра событий.

Класс подмножеств пространства элементарных событий называется алгеброй событий, если

1.

2. Для любых подмножеств и , принадлежащих , следует, что

;

Алгебра событий называется σ – алгеброй, если из того, что

следует, что

1.4. Вероятность.

Пусть – пространство элементарных событий, – алгебра (σ – алгебра) событий. Числовая функция , определенная на множестве , называется вероятностью (или вероятностной мерой), если выполняются три аксиомы

1. ;

2. для любого события ;

3. Для любых несовместных событий и имеет место соотношение .

Аксиома 3 называется теоремой сложения вероятностей несовместных событий.

Свойства вероятностных мер.

1. Вероятность невозможного события ;

2. Вероятность противоположного события ;

3. Для любого события имеет место неравенство

;

4. Если , то ;

5. Для попарно несовместных событий аксиома 3 примет вид

.

Пример 1.4.

Работу некоторой технической системы обеспечивают 2 блока первого типа и 3 блока второго типа. Обозначим – событие, состоящее в том, что – й блок первого типа исправен, – исправен – й блок второго типа. Используя операции алгебры событий, выразить через события события, заданные с помощью словесного описания

1. – исправны все блоки первого типа и хоть один блок второго типа;

2. – исправен один блок первого типа и один блок второго типа;

3. – исправен первый блок первого типа и два блока второго типа.

Решение.

1) событие, состоящее в том, что оба блока первого типа исправны, – событие, состоящее в том, что три блока второго типа неисправны, тогда событие означает, что хоть один блок второго типа исправен. Следовательно, = .

Используем свойство (10). Тогда = .

2) – это событие, состоящее в том, что исправен один блок первого типа, – исправен один блок второго типа.

Тогда = ( ).

3)Аналогично

) (проверьте).

Пример 1.5.

Пусть и – известные события. Найти событие из равенства

.

По теореме двойственности (10) имеем

.

Первое слагаемое преобразуем по свойству (5)

Исходное равенство примет вид

Ответ: .

2. Классический подход к вычислению вероятностей.

Пусть пространство элементарных событий конечно: и элементарные события равновероятны:

. Тогда алгебра событий содержит все подмножеств , т.е. любое подмножество является событием.

Пусть событие эквивалентно объединению элементарных событий с любыми номерами из названных выше событий:

. Элементарные события называются благоприятными для события . Тогда вероятность события определяется по формуле

. (1)

Формула (1) называется классической формулой вероятности.

Классическая формула вероятности служит хорошей математической моделью для тех случайных явлений, для которых исходы опыта симметричны, и можно принять предположение о равновозможности исходов опыта. Классическая схема хорошо себя зарекомендовала в задачах теории азартных игр, лотерей, в страховом деле и др.