4. Точка. Проекция точки на плоскость

Пусть в трехмерном пространстве нам задана точка М₁ и плоскость  . Проведем через точку М₁ прямую a, перпендикулярную к плоскости  . Если точка М₁ не лежит в плоскости  , то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости   как H₁. Таким образом, точка H₁ по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M₁ на плоскость  .

Определение.

Проекция точки М₁ на плоскость   - это сама точка М₁, если  , или точка H₁, если  .

Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.

Определение.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.

На приведенном ниже чертеже точка H₁ есть проекция точки М₁ на плоскость  ; точка М₂ лежит в плоскости  , поэтому М₂ – проекция самой точки М₂ на плоскость  .

5. Величины отрезков прямых линий и углов наклона прямых линий к плоскостям проекций.

В многомерном пространстве любое изображение объекта на плоскости можно получить с помощью проецирования. Однако не стоит судить о геометрической форме тела либо о форме простейших образов в геометрии на основе одной проекции точки. Наиболее полную информацию об изображении геометрического тела дает несколько проекций точек. Для чего используют проекции точек тела минимум в двух плоскостях.

Например, необходимо построить проекцию точки А. Для этого расположите две плоскости перпендикулярно друг другу. Одну -горизонтально, называя ее горизонтальной плоскостью и обозначая все проекции элементов с индексом 1. Вторую - вертикально. Назовите ее, соответственно, фронтальной плоскостью, а проекциям элементов присвойте индекс 2. Обе эти плоскости считайте бесконечными и непрозрачными. Линией их пересечений становится ось координат ОХ.

3атем примите как факт, что пространство между плоскостями проекции условно делится на четверти. Вы находитесь в первой четверти и видите только те линии и точки, которые находятся в этой области двугранного угла.

Суть процесса проецирования состоит в проведении луча через заданную точку, пока луч не встретится с плоскостью проекций. Данный метод получил название метода ортогонального проецирования. Согласно нему, опустите из точки А перпендикуляр на горизонтальную и фронтальную плоскость. Основанием этого перпендикуляра как раз и будет горизонтальная проекция точки А1 либо фронтальная проекция точки А2. Таким образом, вы получите положение этой точки в пространстве заданных плоскостей проекций.

6. Взаимное положение прямых линий

Две прямые в пространстве могут: быть параллельными, пересекаться, скрещиваться.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек

Проекции параллельных прямых на любую плоскость проекций (не перпендикулярную данным прямым) – параллельны.

2.Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

 Прямые пересекаются, если их одноименные проекции также пересекаются, а проекции точки пересечения лежат на одной линии связи.

 3. Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

 Прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны между собой, а точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии связи.