Лабораторна робота №2 Нечіткі числа і інтервали у формі (l-r)-функцій та операції над ними

2.1 Мета роботи

Метою заняття є вивчення методів представлення нечітких величин у формі нечітких чисел та інтервалів та ознайомлення з операціями над нечіткими числами та інтервалами (L-R)-типу.

2.2. Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

Процес нечіткого моделювання ґрунтується на кількісному представленні вхідних і вихідних змінних системи у формі нечітких множин. Таке уявлення пов'язане з розглядом спеціальних нечітких множин, які задаються на множині дійсних чисел і мають деякі додаткові властивості. Найбільш загальним поняттям в цьому контексті є поняття нечіткої величини.

Найбільший інтерес для нечіткого моделювання представляє конкретизація нечіткої величини у формі нечітких чисел і інтервалів. Вони виявляються вельми зручним засобом для чисельних розрахунків значень відповідних функції приналежності при виконанні арифметичних операцій.

Нечіткі числа і інтервали, які найчастіше використовуються для представлення нечітких множин в нечіткому моделюванні, є нормальними. Проте самі визначення нечіткого числа і нечіткого інтервалу дуже загальні, що утруднює їх практичне використання. З обчислювальної точки зору зручно використовувати конкретніші визначення нечітких чисел і інтервалів у формі аналітичної апроксимації за допомогою так званих (L-R)-функцій. Отримані в результаті нечіткі числа і інтервали у формі (L-R)-функцій дозволяють охопити достатньо широкий клас конкретних функцій приналежності.

Для підготовки до лабораторної роботи слід опрацювати конспект лекцій за темою: «Нечіткі величини, числа, та інтервали» а також відповідний матеріал з переліку рекомендованої літератури [3, 5, 6, 7].

2.3. Методичні вказівки та короткі відомості щодо виконання лабораторної роботи

1. Виконати завдання 1, 2.

2. Оформити звіт за результатами лабораторної роботи та захистити його.

Завдання 1.

При аналізі продажів в чотирьох різних магазинах було встановлено:

• магазин А забезпечує рівень продажів протягом місяця на суму від 40 до 100 тис. у. о. залежно від попиту, але з найбільшою вірогідністю можна чекати суму продажів від 50 до 70 тис. у. о.;

• магазин В надійно забезпечує високий рівень продажів на суму від 100 до 110 тис. у. о. в місяць;

• магазин С ненадійний і забезпечує рівень продажів не більше 20 тис. у. о. в місяць;

• витрати магазину D складуть близько 50 – 100 тис. у. о., але найбільш вірогідна виплата 80 тис. у.  е.

Таким чином, маємо три джерела доходів і одне джерело витрат. Побудуємо на основі їх описів трапецієвидні функції приналежності для кожної з чотирьох нечітких змінних (табл. 1).

Таблиця 1. Інтерпретація нечітких змінних

Джерела доходу	Функція приналежності	Трапецієвидний нечіткий інтервал
Магазин А	1 40 50 70 100	А=(50, 70, 10, 30)
Магазин В	100 110	В=(100, 110, 0,0)
Магазин С	1 0 20	С=(0, 0, 0, 20)
Магазин D	50 80 100	D=(80, 80, 30, 20)

Після формалізації всіх нечітких змінних, постає завдання визначення суми всіх доходів від продажів, яка також буде нечіткою величиною. Для цього треба вміти виконувати прості арифметичні операції над нечіткими змінними.

Визначення цих операції розглянемо для випадку двох нечітких змінних і (трапецієвидних нечітких інтервалів), які задані параметрично у вигляді:

;

.

Результатом операції буде також трапецієвидний нечіткий інтервал (ТНІ) , параметри якого визначаються залежно від типу арифметичної операції (табл. 2).

Таблиця 2. Арифметичні операції

Операція	Значення параметрів ТНІ
	; ; ;
	; ; ;
	; ; ;
	; ; ;

На основі приведених вище описів арифметичних операцій для цього прикладу можна визначити оцінку доходу від продажів без урахування витрат (F) як суму трьох джерел доходу. Причому результат буде також нечіткою змінною з трапецієвидною функцією приналежності:

F=A+B+C = (50+100+0, 70+110+0, 10+0+0, 30+0+20)=(150, 180, 10, 50).

Для отримання оцінки чистого доходу необхідно з F відняти D:

F–D = (150–80, 180–80, 10+20, 50+30)=(70, 100, 30, 80).

Таким чином, чистий дохід складе від 40 до 180 тис. у.  е. у місяць, але з найбільшим ступенем упевненості можна говорити про суму від 70 до 100 тис. у.  е. у місяць.

Вправа. Реалізуйте розв’язок цієї задачі в Excel.

Завдання 2.

Крупний автоділер торгує автомобілями популярної французької марки. Більшу частину часу продаж автомашин коливалися від 4 до 7 шт. в тиждень. В кінці листопада і початку грудня була проведена рекламна акція загальною вартістю 30 тис. у. о. В результаті, продажі автомашин виросли і склали близько 16 автомобілів в тиждень. Питомий прибуток від продажу кожного автомобіля склав 1,5 тис. у. о. Час дії акції 3 тижні. Оцінити ефективність проведеної рекламної компанії.

Розв’язання.

Побудуємо модель оцінки ефективності реклами за найпростішим критерієм – збільшенню об'єму продажів.

Виберемо спочатку змінні, що значущо впливають на ефективність реклами з точки зору обраного критерію, при цьому враховуючи, що вони є функціями часу:

P(t) – сукупні продажі деякого товару або послуги;

q(t) – питомий прибуток, тобто сума, що буде зароблена при продажі кожної одиниці товару або послуги;

C(t) – сукупна вартість рекламної кампанії.

Коефіцієнт ефективності рекламної кампанії може бути обчислений за формулою:

,

де , – сукупний прибуток від рекламної кампанії, що отриманий від продажів деякого товару або послуги до і після реклами;

) – сукупні продажі деякого товару або послуг до і після рекламної кампанії відповідно.

Отримана формула в математиці називається функціоналом, тому ефективність реклами можна оцінити як деякий функціонал. З аналізу формули виходить, що

якщо 0 ≤ E(t) ≤ 1 – рекламна кампанія не ефективна, тобто приріст продажів не виправдав коштів, витрачених на рекламу;

якщо E(t) ≤ 1 – рекламна кампанія ефективна.

Розглянемо приклад оцінки показника рекламної ефективності, що заснований на запропонованому підході.

Представивши продажі в тиждень у вигляді деяких трапецієвидних нечітких інтервалів і трикутних нечітких чисел, а також використовуючи правила операцій над трапецієвидними нечіткими інтервалами, отримаємо, що коефіцієнт ефективності рекламної компанії має наступне інтервальне значення: 1,3 ≤ E(t) ≤ 1,9.

Вправа. Реалізуйте розв’язок цієї задачі в Excel.

2.4. Контрольні запитання

1. Нечіткі величини, числа, інтервали.

2. Нечіткі числа та інтервали у формі (L-R)-функцій.

3. Операції над нечіткими числами та інтервалами (L-R)-типу.

4. Трикутні нечіткі числа та трапецієвидні нечіткі інтервали.

5. Операції над трикутними нечіткими числами та трапецієвидними нечіткими інтервалами.