3.3. Диффузия из ограниченного и полуограниченного источника

Для последующей стадии разгонки справедлива модель источника с ограниченной концентрацией примеси Q в поверхностном слое очень малой толщины. Данный режим диффузии называется также моделью диффузии из поверхностного источника с отражающей границей, для которого начальные6 и граничные условия имеют следующий вид:

(2.8)

Решение уравнения (2.2) для данной задачи выражается функцией нормального распределения Гаусса:

(3.9)

Величину Q называют также дозой легирования. На рис. 5 приведены профили распределения примеси для различных значений диффузионной длины Dt: 1 – 0,0625 мкм²; 2 – 0,25 мкм²; 3 – 1 мкм².

Глубина залегания p-n перехода, полученная по формуле (2.9) имеет вид:

, где .

При получении гетероструктур твердое тело последовательно легируют разными примесями. Окончательный профиль распределения примеси может быть рассчитан по формуле (2.9), в которой в качестве параметра диффузионной длины принимают сумму:

(3.10)

В противном случае необходимо использовать комбинированное распределение С(x, t₁, t₂), являющееся решением уравнения (3.2) для диффузии примеси из слоя конечной толщины:

, (2.11)

где y –переменная; C₀₁ – поверхностная концентрация примеси на стадии загонки;

Значения интеграла в формуле (2.11) приводятся в справочной литературе в зависимости от параметров z и .

Режим диффузия из полуограниченного источника рассматривается в двух основных моделях: (а) - гомогенная среда, содержащая фазовую границу и примесный компонент с неравномерным распределением; (б) – гетерогенная среда, в одной из частей которой присутствует примесь. В случае (а) растворимость примеси в разных областях и коэффициенты диффузии примеси одинаковы, и распределение концентрации примеси имеет следующий вид:

. (3.12)

Для гетерогенной системы выполняется следующее распределение:

, (3.13)

где

представляет собой коэффициент, учитывающий соотношение растворимостей и коэффициента диффузии в разных областях диффузионной структуры.

3.4. Расчет распределения примеси после двухстадийной диффузии

Рассмотрим методику расчета распределения примеси для двухстадийной диффузии фосфора в кремнии, проводимой в следующем режиме: Т₁ = 1250 С, t₁ = 10 мин, Т₂ = 1150 С, t₂ =2 ч. Требуется определить глубину залегания p-n – перехода.

1. Определяем коэффициенты диффузии фосфора в кремнии с помощью формулы (3.3), таблицы 5, приведенной в разд. 4, или на основе рис. 6 (D₁ = 410^12 см ²/с, D₂ = 410^-13 см ²/с).

2. Так какD₁ t₁ = 2,410^-9  D₂ t₂ = 2,8810^-9 см ² , то можно использовать следующую формулу:

y – переменная интегрирования

3. Определим  и z:

3. Определим поверхностную концентрацию при разгонке. Согласно зависимости С = f (Т) при Т₁ = 1250 С, С₀₁ = 1,2  10²¹ см^3

4. Поверхностная концентрация после разгонки

3. Построим распределение, пользуясь данными таблицы 3.1, и зададим значения z = 0,1, 0,3, 0,5 и т. д.. Определим для  = 0,9 значения интеграла. Построив график, найдём глубину (см):

7. На стадии загонки распределение примеси имеет вид подобный тому, как показано на рис. 4 и рис.7. Уже на стадии загонки глубина диффузии составляет около 75% полной глубины после разгонки.

8. Глубину залегания p-n-перехода определим по приближённой формуле , в которой учтены две стадии диффузии :

9. Построим профиль распределения без учёта реального соотношения между D₁ t₁ и D₂ t₂, используя кривую Гаусса, при (Dt)_эф = D₁ t₁ + D₂ t₂

где

Распределение показано на рис. 7 кривой 3, которая хорошо аппроксимирует экспериментальную кривую на малых глубинах, но при x  4 мкм концентрацию может быть завышения почти на порядок.