Свойства умножения матриц:
Умножение дистрибутивно:
,
.
2. Умножение ассоциативно:
.
Докажем свойство 1. Пусть
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Обозначим
,
,
,
,
,
,
,
.
Имеем
,
и, таким образом, в соответствии с
определением 6
,
или, возвращаясь к старым обозначениям,
.
Свойство 1 доказано.
Так как умножение матриц некоммутативно, следовало бы доказать и правую дистрибутивность: . Опустим доказательство, так как оно аналогично приведенному доказательству левой дистрибутивности.
Докажем свойство 2. Пусть
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Обозначим
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Имеем
,
таким образом,
.
Вернемся к старым обозначениям и получим: , т.е. свойство 2 доказано.
Для квадратных матриц справедливо следующее утверждение, которое приведем без доказательства.
Теорема 2. Для любых двух квадратных матриц и
.
Приведем пример, иллюстрирующий утверждение теоремы 2.
Пример 13. Даны матрицы
и
.
Вычислить
.
Воспользуемся теоремой 2:
.
Найдем произведение
непосредственно:
.
Следовательно, результаты совпадают.