Свойства определителя порядка п:
1.
(определитель не меняется при
транспонировании вокруг главной
диагонали).
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, определитель равен нулю.
3. От перестановки двух строк определитель меняет лишь знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки
определителя умножить на число
,
определитель умножится на
.
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы
-й
строки определителя представлены в
виде суммы
,
то определитель равен сумме двух
определителей, у которых все строки,
кроме
-й,
такие же, как в исходном определителе,
а
-я
строка в одном определителе состоит
из
,
а в другом - из
.
Определение 3.
-я
строка определителя называется линейной
комбинацией остальных его строк,
если
такие, что, умножая
-ю
строку на
,
а затем складывая все строки, кроме
-й,
получаем
-ю
строку.
8. Если одна из строк определителя является линейной комбинацией остальных его строк, определитель равен нулю.
9. Определитель не изменится, если к элементам одной его строки прибавить соответствующие элементы другой, умноженные на одно и то же число.
Замечание. Мы сформулировали свойства определителя для строк. В силу свойства 1 ( ) они справедливы и для столбцов.
Все приведенные свойства были доказаны на практических занятиях для ; для произвольного примем их без доказательства.
Если в определителе
порядка
выбрать элемент
и вычеркнуть столбец и строку, на
пересечении которых расположен
,
оставшиеся строки и столбцы образуют
определитель порядка
,
который называется минором определителя
,
соответствующим элементу
.
Пример 3. В определителе
минором элемента
является определитель
.
Определение 4. Алгебраическим
дополнением
элемента
определителя
называется его минор, умноженный
на
,
где
- номер строки,
- номер столбца, в которых расположен
выбранный элемент
.
Пример 4. В определителе
алгебраическое дополнение
.
Теорема 1 (о разложении по строке). Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки на их алгебраические дополнения.
Теорема 1 позволяет свести вычисление определителя порядка к вычислению определителей порядка .
Пример 5. Вычислить определитель четвертого порядка:
.
Воспользуемся теоремой 1 и разложим определитель по 4-й строке:
.
Замечание. Можно вначале упростить определитель, воспользовавшись свойством 9, а затем использовать теорему 1. Тогда вычисление определителя порядка сведется к вычислению всего одного определителя порядка .
Пример 6. Вычислить
.
Прибавим первый столбец ко второму и
первый столбец, умноженный на (
),
к третьему, в результате получим
.
Теперь применим теорему 1 и разложим по последней строке:
,
вычисление определителя 4-го порядка свелось к вычислению всего одного определителя 3-го порядка.
Далее аналогично к первому столбцу прибавим третий и полученный определитель разложим по первой строке:
,
вычисление определителя третьего порядка свелось к вычислению всего одного определителя второго порядка.
Пример 7. Вычислить определитель порядка :
.
Первую строку прибавим ко второй, третьей и т.д. -й строке. Придем к определителю
.
Получен определитель треугольного вида.
Применим раз теорему 1 (разложим по первому столбцу) и получим
.
Замечание. Определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали.