Лекция 8

Глава 6 Матрицы

Определение и некоторые свойства определителей порядка n. Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций

6.1. Основные понятия

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел.

Для обозначения матрицы используются круглые скобки или сдвоенные вертикальные линии:

.

Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами, элемент матрицы расположен в ее -й строке и -м столбце.

Числа и (число строк и столбцов матрицы) называются ее порядками.

Говорят также, что - матрица размером .

Если , матрица называется квадратной.

Для краткой записи используется также обозначение (или ) и далее указывается, в каких пределах изменяются и , например, , , . (Запись читается так: матрица с элементами , изменяется от до , - от до .)

Среди квадратных матриц отметим диагональные матрицы, у которых все элементы с неравными индексами ( ) равны нулю:

.

Будем говорить, что элементы расположены на главной диагонали.

Диагональная матрица вида

называется единичной матрицей.

В дальнейшем будут встречаться матрицы вида

и ,

которые называются треугольными матрицами, а также матрицы, состоящие из одного столбца:

и одной строки:

(матрица-столбец и матрица-строка).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.

6.2. Определители порядка n

Пусть дана квадратная матрица порядка :

. (6.1)

Составим всевозможные произведения элементов матрицы, расположенных в разных строках и разных столбцах, т.е. произведения вида

. (6.2)

Число произведений вида (6.2) равно (примем этот факт без доказательства).

Будем считать все эти произведения членами определителя порядка , соответствующего матрице (6.1).

Вторые индексы множителей в (6.2) составляют перестановку первых натуральных чисел .

Говорят, что числа и в перестановке составляют инверсию, если , а в перестановке расположено раньше .

Пример 1. В перестановке шести чисел, , числа и , и , и , и , и составляют инверсии.

Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной, если число инверсий в ней нечетно.

Пример 2. Перестановка - нечетная, а перестановка - четная ( инверсий).

Определение 2. Определителем порядка , соответствующим матрице (6.1), называется алгебраическая сумма членов, составленная следующим образом: членами определителя служат всевозможные произведения элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со знаком "+", если множество вторых индексов является четной перестановкой чисел , и со знаком "–", если нечетной.

Обозначать определитель матрицы (6.1) принято так:

.

Замечание. Определение 2 для и приводит к уже знакомым нам определителям 2-го и 3-го порядка:

,

.

Транспонированием вокруг главной диагонали матрицы называется переход к матрице , для которой строки матрицы являются столбцами, а столбцы - строками:

.

Будем говорить, что определитель получен транспонированием определителя .