імто / пр12

Практичне заняття 12

Статистичний аналіз стохастичних математичних моделей об'єктів керування.

Контрольні питання

  1. Охарактеризуйте методи  ідентифікації  стохастичних математичних моделей об'єктів керування.  

Застосовуються методи кореляційного і регресійного аналізів, інші статистичні методи.

У кореляційних зв'язках між зміною факторного та результативного ознаки немає повної відповідності, вплив окремих факторів проявляється лише в середньому при масовому спостереженні фактичних даних. У найпростішому разі застосування кореляційної залежності величина результативної ознаки розглядається як наслідок зміни тільки одного фактора (наприклад, рекламний бюджет - як причина зростання обсягу продажів).

Кореляційний аналіз дає можливість розраховувати рівень довіри до результатів аналізу. У процесі цього аналізу розраховуються показники кореляції, до яких відносяться коефіцієнти кореляції і кореляційні відносини.

Регресійний аналіз дасть можливість відповісти на запитання про кількісну міру впливу різних факторів, наприклад на попит (обсяг можливого продажу). Він являє собою підбір і рішення математичних рівнянь, що описують досліджувані залежності. Елементи ринку залежать від багатьох факторів, і форми цих залежностей можуть бути найрізноманітнішими. Тому регресійний аналіз починають з побудови графіка залежності, на його основі підбирають підходяще математичне рівняння, а потім знаходять параметри цього рівняння шляхом вирішення системи нормальних рівнянь.

Регресійний аналіз використовується для вивчення зв'язків між залежною змінною та однією чи кількома незалежними змінними, визначення тісноти зв'язку і математичної залежності між ними, передбачення значення залежної змінної.

 2. В чому  полягає метод  метод найменших квадратів?

Сутність методу (звичайного) методу найменших квадратів (МНК) полягає у знаходженні таких значень матриці параметрів А моделі , при яких сума квадратів залишків й була б мінімальною. Мінімізуя суму квадратів залишків й шляхом знаходження першої похідної за складовими, можна знайти оцінки для теоретичної моделі.

У ряді випадків при вирішенні економічних задач необхідно встановити теоретичну (аналітичну) залежність на підставі фактичних спостережень. Результати їх можуть бути наведені у таблиці для пар значень змінних: . Проаналізуємо, який вид кривої краще підійде для апроксимації емпіричних (фактичних) даних. У спрощеному випадку це може бути пряма, з кривих - парабола, гіпербола, степенна залежність та ін.

Припустимо, що для даного розподілення емпірично отриманих точок вибраний вид залежності у вигляді безперервної лінії між точками. Функцію описують параметри аі , знайшовши які можна получити рівняння апроксимуючої лінії. Наприклад, рівняння прямої задаються у вигляді , рівняння параболи - тощо.

Відхилення ординат теоретичної лінії у від емпіричних даних у,- при тих же абсцисах відповідають різниці (при і=1...n). Чим менші ці різниці, тим краще вибрана теоретична лінія буде апроксимувати емпіричні дані.

Французьким математиком Лежандром у XIX ст. запропоновано в якості міри відхилення точок А від апроксимуючої теоретичної лінії брати мінімальну суму S квадратів відхилення їх ординат від теоретичних значень y:

З цього і назва методу - метод найменших квадратів (або скорочено МНК).

3. Яким чином визначається значущість коефіцієнтів рівняння регресії?

Для перевірки значимості рівняння регресії використовується критерій дисперсійного аналізу (Т-критерій). Передбачається, що вектор е має п-мірний нормальний закон розподілу.

Експериментальні дослідження проводять для того, щоб знайти оцінки коефіцієнтів. Теоретичні значення деяких коефіцієнтів можуть бути рівними нулю. Значустість коефіцієнтів лінійної регресії перевіряють окремо для кожного коефіцієнта за допомогою критерію Стьюдента.

4. Що є підставою для встановлення придатності стохастичних математичних моделей об'єктів керування?

Для оцінки параметрів математичної моделі використовуються різні методи параметричної ідентифікації у відповідності зі специфічними особливостями досліджуваних об'єктів. Найбільш поширений серед них метод найменших квадратів (МНК). Цей метод дозволяє отримати такі оцінки параметрів (коефіцієнтів регресії), при яких сума квадратів відхилень фактичних значень результативної ознаки (y) від розрахункових (x y) буде мінімальна.

5. Переваги та недоліки регресійних моделей.

До переваг даних моделей прогнозування відносять простоту, гнучкість, а також однаковість їх аналізу та проектування. При використанні лінійних регресійних моделей результат прогнозування може бути отриманий швидше, ніж при використанні інших моделей. Крім того, перевагою є прозорість моделювання. Доступність для аналізу всіх проміжних обчислень.

Основним недоліком нелінійних регресійних моделей є складність визначення виду функціональної залежності, а також трудомісткість визначення параметрів моделі. Недоліками лінійних регресійних моделей є низька адаптивність і відсутність здатності моделювання нелінійних процесів.

6. В  Яких випадках виникає необхідність в ускладненні  стохастичних математичних моделей об'єктів керування?

На етапі модифікації відбувається або ускладнення моделі, щоб вона була більш адекватною дійсності, або її спрощення заради досягнення практично прийнятного рішення.