імто / практика 6

Практичне заняття №6.

Розробка аналітичної математичної моделі змішувача

1. Які приймались припущення при побудові моделей?

Якщо за підсумками аналізу характеристик об'єкта моделювання він був віднесений до класу стаціонарних (вихід залежить тільки від входу, об'єкт не змінюється в часі), то можливе застосування даної методики, яка є окремим випадком загальної методики моделювання.

У випадку, коли на стадії аналізу вдалося встановити майже всі зв’язки між характеристиками об’єкту, це відображається в концептуальній моделі, по якій відбувається розробка формальних залежностей моделі. Зазвичай, статична модель подається у вигляді одного рівняння або системи рівнянь чи нерівностей, лінійних чи нелінійних, алгебраїчних чи трансцендентних. Якщо інформації про залежність характеристик недостатньо для їх точної ідентифікації, або зв’язки мають випадковий характер, об’єкт моделювання розглядається як «чорна скриня», стосовно якого виділяються лише входи та виходи, а внутрішні зв’язки вважаються невідомими. Для ідентифікації моделі в цьому випадку може бути застосований апарат регресійного аналізу. Розглянемо ситуацію, коли у об’єкта одна вихідна величина та декілька вхідних величин. Такі об’єкти в концептуальній моделі представляються у вигляді зображеному на рис 1.2, на якому x1…xn– вхідні змінні (фактори, регресори), y– вихідна змінна (відгук).

Об’єкт моделювання

При цьому приймаються припущення, які визначають стаціонарність об’єкту, відсутність взаємозв’язку між різними реалізаціями процесу. Наприклад, у якості відгуку можна розглянути витрати палива автомобілем на 100 км шляху. Факторами будуть вага вантажу, середня швидкість руху. Припущення: рух відбувається в основному по горизонталі по однотипних дорогах; якість палива, технічний стан автомобіля та водій не змінюються.

2. Назвіть складові балансових рівнянь.

Розроблення імітаційної математичної моделі здійснюють шляхом безпосередньої побудови камерної (нульвимірної) моделі на основі просторового осереднення процесів і складання балансових рівнянь у деякій виділеній області G. Якщо область G досить велика порівняно з масштабами процесів, що в ній відбуваються, і в цій області спостерігається значна неоднорідність розподілу значень досліджуваних показників (наприклад, концентрація радіонуклідів), то в даному випадку вся область (ділянка) G розбивається на підобласті G i = 1, 2, 3, ..., п) і кожна підобласть G 1 приймається за окрему «камеру» (реактор). Зв'язок між цими камерами, як правило, описують через водообмін та масообмін. Унаслідок побудови таких багатокамерних моделей з достатньою для практики точністю можна математично описувати процес розповсюдження і трансформації речовин у просторі й часі, причому в просторі — дискретно, а в часі — неперервно.

3. В чому полягають особливості аналітичних моделей?

Дана методика застосовується для створення моделей об'єктів, що змінюються в часі (нестаціонарних об’єктів). Специфіка динамічного моделювання полягає в особливій побудові концептуальної моделі (гіпотези про механізм процесів) і формалізації залежностей математичної постановки.

Концептуальна модель грунтується на розгляді об'єкта на кількох рівнях декомпозиції. Як правило, виділяють явища на макро- і мікрорівні об’єкту. На макрорівні процеси розглядаються узагальнено, «великими мазками». Наприклад, рух потоків маси і енергії, надходження грошових коштів і т.п. На мікрорівні ці процеси розглядаються більш детально.

На кожному рівні декомпозиції виділяють явища і зв'язки між ними. При динамічному моделюванні під явищем будемо розуміти зміну деякої величини. У концептуальній моделі описується перебіг кожного явища. Зв'язки між явищами поділяються на взаємозв'язки явищ одного рівня декомпозиції і зв'язки між явищами різних рівнів декомпозиції. Наприклад, для гіпотези з двома рівнями декомпозиції можливі зв'язки трьох видів:

• зв'язки між явищами на мікрорівні;

• зв'язки між явищами на мікро-та макрорівні;

• зв'язки між явищами на макрорівні.

Для спрощення явищ об'єкта з метою їх формального опису приймається ряд припущень. Припущення стосуються особливостей протікання фізичних, економічних, хімічних та інших типів процесів на об'єкті моделювання. Припущення є однією з основних частин концептуальної моделі і обов'язково підлягають узгодженню з замовником, тому що безпосередньо впливають на адекватність моделі.

4. Охарактеризуйте динамічні параметри отриманих моделей.

Динамі́чна моде́ль сист́еми — сукупність співвідношень, що визначають вихід системи в залежності від входу та стану системи.

Динамічна модель відтворює зміни об'єкта, які відбуваються з плином часу, або особливості функціювання об'єкта. Динамічні моделі називають також функціональними.

Динамічне моделювання використовується для опису поведінки об'єкта в будь-який довільний змінний момент часу. Прикладами динамічних моделей є модель броунівського руху молекул газу, модель моста, параметри якого залежать від дії змінного навантаження.

Динамічні моделі широко використовуються в біології, медицині, динаміці популяцій, економіці, банківській справі. У фізиці, гідромеханіці — для моделювання динаміки розподілу тепла, руху рідини й газів, коливанні пластин та оболонок.

У математичному моделюванні динамічних систем виділяють три основні частини:

• Емпірична частина — фактичні дані, що отримуються в експериментах і спостереженнях, а також дані з первинної систематизації.

• Теоретична частина — визначаються основні концепції для об'єднання й пояснення з єдиних позицій емпіричні закономірності та явища.

• Математична частина — конструює моделі для перевірки основних теоретичних концепцій, а також методи обробки експериментальних даних, планування експериментів і спостережень.

Широке використання динамічних моделей пов'язане перш за все з тим, що дає змогу різко скоротити обсяг і масштаби натурних експериментів.

5. Які фізичні величини характеризують коефіцієнти передачі?

Всі фізико-хімічні процеси в машинах й апаратах, де є потоки рідин або газів, в узагальненому виді можна описати системами рівнянь переносу кількості руху, енергії й маси

;

; (1.7)

;

де ω — проекції швидкостей на координати х, у, z; P — тиск; Δ2 — оператор Лапласа; t — температура; сі — концентрація і-го компонента; ρ — густина речовини; rіv — теплота фазового перетворення i-го компонента при постійному об'ємі; СP — теплоємність речовини при постійному тиску; q — потік теплоти; a, ν, Di — відповідно коефіцієнти температуропровідності, в'язкості й дифузії i-ro компонента суміші; X — проекція масової сили на вісь х.

Наведені рівняння описують баланс кількості руху, поля температур і концентрацій у середовищі, що рухається. Для практичних розрахунків конкретних машин й апаратів наведену систему необхідно доповнити рівнянням нерозривності й визначити умови однозначності (форму й геометричні розміри системи, фізичні властивості рідини, початкові й граничні умови). Тому повний математичний опис конкретного об'єкта повинен включати системи наведених рівнянь й умови однозначності, що пов'язане зі зміною чисельних значень транспортних коефіцієнтів і фізичних властивостей рідини, швидкостей, температур і концентрацій.

6. Які фізичні величини характеризують сталі часу?

Для складання математичного опису широко використовують кінетичні рівняння, що описують зміни конкретних характеристик процесу в часі, тобто кінетику хімічних і біохімічних перетворень, тепло- і масообміну, здрібнювання, сепарування. Кінетичне рівняння має загальний вигляд

I = LX

де I — швидкість процесу, L — кінетичний коефіцієнт; X — потенціал (для окремих класів явищ може бути представлений у вигляді відомих законів).

Для теплопровідності - законом Фур'є

.

Для молекулярної дифузії – законом Фіка

.

Для фільтраційного переносу - законом Дарси

або .

Для кількості руху (внутрішнє тертя) - законом Ньютона

.

Для електропровідності - законом Ома

.

Перенос кількості руху (внутрішнє тертя) - законом Ньютона

.

У цих рівняннях відповідно Q, G, qе , f кількість теплоти, маси, сили тертя, кількість електрики: λ, D, k1, k2, k5, μ- коефіцієнти теплопровідності, дифузії, фільтрації, тертя та ін. – є кінетичними коефіцієнтами;

- градієнти концентрації, температури, швидкості, напруги, які є потенціалами переносу.

Наведені кінетичні закономірності описують явища переносу тільки в якийсь певний момент часу в певній точці простору, тому що у зв'язку з нестаціонарністю технологічних процесів, що відбуваються у виробничих машинах й установках, градієнти й потенціали не залишаються постійними.