імто / ПР2

Тема 3. Основні особливості моделей складних об`єктів

АК-3-2ск

Контрольні питання до практичного заняття №2

1. Які параметри моделі характеризують її складність?

2. Виберіть модель, визначіть вихід моделі при певних значеннях вхідних змінних та визначіть значення критеріїв адекватності із наведених.

1. Складність враховується кількістю елементів та підсистем, а також зв’язків між ними. Складність залежить від кількості типів та видів елементів (наприклад технологічні процеси характеризуються наявністю великої кількості явищ різної природи (теплові, механічні, дифузії, масообміну)). Крім елементів важливою характеристикою є кількість зв’язків між цими елементами та підсистемами (наприклад у вигляді ієрархічних структур, нейроноподібних структур). Для відтворення цих особливостей складних об’єктів, модель повинна мати в своєму складі сукупність моделей різнопланових елементів, а також моделі, що відтворюють зв’язки між елементами. Тобто, складна модель повинна мати не меншу складність чим об’єкт, з точки зору поставленої мети дослідження.

За даними навчальної послідовності даних без додаткової зовнішньої інформації принципово неможливо знайти єдину модель оптимальної складності. Дійсно, середньоквадратична похибка D 2 (A) зі збільшенням складності моделі S завжди зменшується (рис. 9.1) і досягає нуля. Наприклад, через n точок завжди можна провести поліном n-1 степеня.

Рисунок 1 – Залежність внутрішнього критерію від складності моделі

Складність моделі визначається мінімальною кількістю даних спостережень, необхідною для визначення всіх параметрів моделі за умови точних даних. Наприклад, для визначення двох параметрів b0, b1 1 2 ( ) 2 D A S Рисунок 9.1. Залежність внутрішного критерію від складності моделі 314 найпростішої моделі, що описується лінійним рівняння y=b0+b1x потрібно мінімум два спостереження (х1, y1) , (х2, y2), для визначення трьох параметрів моделі, що описується квадратичним рівняння y=b0+b1x+b2x 2 потрібно мінімум три спостереження. Тому квадратична модель складаніша за лінійну. Але у випадку декількох змінних хj , j= 1,…n маємо декілька лінійних моделей виду y=b0+b1xj . Як упоядкувати моделі за складністю, якщо вони мають однакову складність? Критерій, що використовується для визначення параметрів моделі, називають внутрішнім критерієм. Найчастіше внутрішнім критерієм слугує середньо-квадратична похибка, Значення внутрішнього критерію з ростом складності моделі завжди зменшується, тобто чим складніша модель, тим вона точніша. Критерій, що обчислюється за інформацією, яка не використовувалась при визначенні параметрів моделі, називається зовнішнім критерієм.

2. Для тимчасового ряду, представленого в перших двох графах табл. 1, побудована трендова модель у вигляді полінома першого ступеня (лінійна модель):

Потрібно оцінити адекватність і точність побудованої моделі.

Рішення. Перш за все, сформуємо залишкову послідовність (ряд залишків), для чого з фактичних значень рівнів ряду віднімемо відповідні розрахункові значення за моделлю: залишкова послідовність приведена в графі 4 табл. 1.

Перевірку випадковості рівнів ряду залишків проведемо на основі критерію піків (поворотних точок). Точки піків відзначені в графі 5 табл. 1; їх кількість дорівнює шести (р = 6). Права частина нерівності (5.9) дорівнює в даному випадку двом, тобто це нерівність виконується. Отже, можна зробити висновок, що властивість випадковості ряду залишків підтверджується.

Результати попередньої перевірки дають можливість провести перевірку відповідності залишкової послідовності нормальному закону розподілу. Скористаємося RS- критерієм. У нашому випадку розмах варіації R = ε _max - ε _min = 2,7 - (-2,1) = 4,8, а середнє квадратичне відхилення

Таблиця 1

t	Фактичне	Розрахункове	Відхилення ε t	Точки піків
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	85	84,4	0,6	-	0,36	-	-	0,71
2	81	81,0	0,0	1	0,00	-0,6	0,36	0,00
3	78	77,6	0,4	1	0,16	0,4	0,16	0,49
4	72	74,1	-2,1	1	4,41	-2,5	6,25	2,69
5	69	70,7	-1,7	0	2,89	0,4	0,16	2,46
6	70	67,3	2,7	1	7,29	4,4	19,36	3,86
7	64	63,8	0,2	1	0,04	-2,5	6,25	0,31
8	61	60,4	0,6	1	0,36	0,4	0,16	0,98
9	56	57,0	-1,0	-	1,00	-1,6	2,56	1,79
45	636	636,3	-0,3	6	16,51		35,26	13,29

Отже, критерій RS = 4,8: 1,44 = 3,33, і це значення потрапляє в інтервал між нижньою і верхньою межами табличних значень даного критерію (межі для п = 10 і рівня значущості α = 0,05 становлять відповідно 2 , 7 і 3,7). Це дозволяє зробити висновок, що властивість нормальності розподілу виконується.

Переходячи до перевірки рівності (близькості) нулю математичного очікування ряду залишків, зауважимо, що за результатами обчислень в табл. 1 це математичне сподівання дорівнює (-0,3): 9 = -0,03 і, отже, можна підтвердити виконання даної властивості, не вдаючись до статистики Стьюдента.

Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків (відсутності автокореляції) обчислимо значення критерію Дарбіна - Уотсона.

Розрахунки за формулою d -критерій Дарбіна - Уотсона, представлені у графах 6, 7, 8 табл. 1, дають таке значення цього критерію: d = 35,26: 15,51 = 2,27. Ця величина перевищує 2, що свідчить про негативну автокореляції (за наявності останньої), тому критерій Дарбіна - Уотсона необхідно перетворити: d '= А - d = А - 2,27 = 1,73. Дане значення порівнюємо з двома критичними табличними значеннями критерію, які для лінійної моделі в нашому випадку можна прийняти рівними d ₁ = 1,08 і d ₂ = 1,36. Так як розрахункове значення потрапляє в інтервал від (d ₂ до 2, то робиться висновок про незалежність рівнів залишкової послідовності.

Зі сказаного вище випливає, що залишкова послідовність задовольняє всім властивостям випадкової компоненти часового ряду, отже, побудована лінійна модель є адекватною.

Для характеристики точності моделі скористаємося показником середньої відносної помилки апроксимації, який розраховується за формулою середня відносна помилка апроксимації: = 13,29: 9 = 1,48 (%). Отримане значення середньої відносної помилки говорить про достатньо високий рівень точності побудованої моделі (помилка менш 5 % свідчить про задовільний рівень точності; помилка в 10 і більше відсотків вважається дуже великий).