С.Ю. Семенова Е.А. Согрина - Начертательная Геометрия 2009

Тела вращения

б) две образующие, если секущая плоскость (JJ) параллельна оси вращения цилиндра (рис. 66);

Рис. 66 в) эллипс, если секущая плоскость (у) наклонена ко всем образующим цилиндра

(рис. 67).

или часть эллипса:

Рис. 67

51

4

Тела вращения

Построение эллипса надо начинать с нахождения опорных (характерных) точек.

О порны ми точками являются: верхняя и ниж няя точки кривой линии; передняя и задняя точки; левая и правая точки; точки, лежащие на очерковых

образующих поверхностей вращения; точки видим ост и, отделяющие видимую часть кривой от невидимой на каждой проекции данного геометрического тела. Эти точки могут совпадать.

Например, на рисунке 67:

точка7 - ниж няя и лева я ; точка 2 - верхняя и правая;

точки 3 и 3 f - передняя и задняя точки, одновременно они являются т очками видимост и для профильной проекции эллипса, т.к. лежат на очерковых образующих профильной проекции цилиндра.

^Примечание: Линии 1-2 и 3-3*являются осями эллипса.

Затем находят ряд промеж уточных точек для более точного построения эллипса (на рис. 67 точки 4 и 5). Все полученные точки соединяем плавной кривой при помощи лекала.

Пр я м ой к р у г о в о й к о н у с

Конус - геометрическое тело, основание которого - круг, боковая поверхность является конической поверхностью.

На рисунках 68 и 69 рассмотрены два способа построения точек на боковой поверхности конуса. Точка 1 построена с помощью окружности радиуса R , лежащей в плоскости я, параллельной основанию конуса. Точка 2 - с помощью образующей SE.

Рассмотрим, какая фигура может быть получена в результате пересечения конической поверхности плоскостью.

52

Тела вращения

Прост ы е сечения

1)окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси конуса (рис. 70);

\

Рис. 70

2) две образующие, если секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 71).

Слож ные сечения

1) парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей (рис. 72, у// SB);

53

Тела вращения

С ф е р а

Сферой называется тело вращения, ограниченное сферической поверхностью, образованной вращением окружности вокруг ее диаметра. Сферическая поверхность относится к нелинейчатым поверхностям вращения. Все точки сферы одинаково удалены от центра.

Очерковая окружность параллельная плоскости 77/ называется экватором; параллельная плоскости П2 - главным фронтальным меридианом; параллельная Пз - главным профильным меридианом (рис. 75).

г ладный профильный

Любая плоскость пересекает сферу по окружности, которая проецируется в виде окружности, в виде отрезка прямой или в виде эллипса в зависимости от положения секущей плоскости по отношению к плоскости проекций.

На рисунке 76 горизонтальная плоскость а пересекает сферу по окружности, фронтальная и профильная проекции которой отрезки прямой, а горизонтальная - окружность радиуса Ra.

Плоскость Р параллельна профильной плоскости проекций, поэтому окружность спроецируется на эту плоскость проекций в истинную величину (окружность радиуса Rp).

55

Тела вращения

На рисунке 77 изображена сфера, рассеченная фронтально-проецирующеи плоскостью а, которая также пересекает сферу по окружности. Горизонтальная и

Промежуточные точки 2 и 6, также как и точка 4 могут быть построены с

помощью вспомогательной окружности (например, точка 6). Примеры построения точек на поверхности сферы рассмотрены на рисунке 78.

Точка 1 лежит на экваторе; точка 2 - на главном фронтальном меридиане, проекции этих точек находим на соответствующих проекциях экватора и меридиана.

Точка 3 принадлежит боковой поверхности сферы. Горизонтальную проекцию точки 3; находим на окружности радиуса Ra, полученную при пересечении сферы горизонталь­ ной вспомогательной плос­ костью а. Профильная проекция ТОЧКИ Зз строится при помощи координаты «у».

Рис. 78

56

Тела вращения

На рисунке 79 изображена сфера, в которой выполнен сквозной призматический вырез, образованный плоскостями а, р и у. Эти плоскости пересекают сферу по окружности:

а) горизонтальная плоскость а пересекает сферу по окружности, радиус которой равен отрезку 72- 8 2 \

б) профильная плоскость р пересекает сферу по окружности, радиус которой равен отрезку 52-4у,

в) фронтально-проецирующая плоскость у пересекает сферу по окружности, проецирующуюся на горизонтальную и профильную плоскости проекций в виде эллипсов. Нахождение опорных и промежуточных точек эллипса аналогично примеру, рассмотренному на рисунке 77.

На виде сверху экватор делит поверхность сферы на видимую и невидимую части. Все точки, лежащие выше экватора, будут видимы на виде сверху (точки 7, 2, 3, 4 и 5). Границей видимости на главном виде является фронтальный меридиан, а на виде слева - профильный меридиан.

Так как вырез сквозной, на виде сверху будет отсутствовать часть экватора 5-7-5, а на виде слева часть профильного меридиана - 3 ’-7’ и 5-7.

57

Тела вращения

Методические указания

З а д а ч а 1

Рассмотрим решение задачи на примере цилиндра со сквозным призматическим отверстием (рис. 80).

1) Определяем, какая фигура получается при пересечении цилиндра плоскостями, образующими вырез:

а) горизонтальная плоскость а пересекает цилиндр по окружности;

б) профильные плоскости fi и тпересекают боковую поверхность цилиндра по двум образующим 3 -4 , 3 - 4 \ 1-8 и 1 -8'.

в) фронтально-проецирующая плоскость р пересекает боковую поверхность цилиндра по эллипсу.

►Примечание: Обозначение и название плоскостей отверстия, а также получаемые сечения записываем на поле чертежа.

2)Найдем и обозначим опорные и промежуточные точки получаемых сечений:

а) для построения проекций окружности (от плоскости а) - точки 1, 2, 3; б) для построения образующих (от плоскости р) - точки 3 и 4,

(от плоскости г) - точки 1 и 8.

в) для построения части эллипса (от плоскости р) - опорные точки 4, 6 и 8; и промежуточные 5, 7.

►Примечание: Передняя и задняя очерковые образующие цилиндра отделяют видимую его часть от невидимой. Поэтому точки 2 и 6, лежащие на этих образующих, являются опорными точками видимости для профильной проекции.

3) Боковая поверхность цилиндра является горизонтально-проецирующей поверхностью, она проецируется на /7; в окружность, обладающую собирательным свойством. Поэтому горизонт альные проекции всех точек находим на этой окружности.

4)Строим профильные проекции точек. Точки 2, 2\ 6, 6' лежат на очерковых образующих, поэтому находим их профильные проекции в проекционной связи с фронтальными, без дополнительных построений. Для нахождения остальных точек используем координату «у » (нарис. 64 « у /»).

►Примечание: На виде слева профильные проекции очерковых образующих между точками 2з~6з и 2 'з - 6гз отсутствуют, так как вырез сквозной.

5)Соединяем горизонтальные и профильные проекции точек в той же последовательности, что и на фронтальной плоскости проекций с учетом видимости. При этом точки эллипса соединяем плавной кривой при помощи лекала.

6)Строим с учетом видимости горизонтальные и профильные проекции линий пересечения плоскостей, образующих отверстие:

Рассмотрим решение задачи 2 на примере прямого кругового конуса со сквозным призматическим вырезом (рис. 80).

58

Тела вращения

1) Сначала выясним, какая фигура получается при пересечении конической поверхности плоскостями, образующими вырез:

а) горизонтальная плоскость а пересекает конус по окружности; б) фронтально - проецирующая плоскость /? - по двум образующим; в) фронтально - проецирующая плоскость p -п о эллипсу;

г) профильная плоскость т - по гиперболе.

2) Найдем и обозначим ф ронт альные проекции опорных и промежуточных точек получаемых сечений (рис. 80):

а) для построения окружности (от плоскости а) - точки 1 , 2 , 3; б) для построения образующих (от плоскости 0) - точки 3 и 4\

в) для построения эллипса (от плоскости р) вначале выявим большую ось эллипса ЕМ и наметим на ней точки 8 и 4. ,

Разделив отрезок ЕМ пополам, получим положение малой оси эллипса 7-7'. Точки 7 и 7' являются самым широким местом эллипса на виде сверху и виде слева. Эти точки относятся к опорным и находятся по построению. Нахождение малой оси эллипса показано на рисунке 81.

Точки 6 и 6 ' также относятся к опорным, так как лежат на передней и задней образующих конуса, а они являются очерковыми для профильной проекции. Затем намечается ряд промежуточных точек (на рис. 80 точка

обозначаем точку 1 0 (вершину гиперболы), точку 8 (нижние точки ветви гиперболы) и промежуточную точку 9.

3) Строим горизонт альные проекции точек. Точки 1 и 10 лежат на левой образующей конуса, поэтому h и 101 находим на её горизонтальной проекции. Точки l h 2\ и 3i лежат на окружности радиуса «Я»,лежащей в плоскости а. Точки 4 и 4' лежат на образующих, проходящих через точки 3 и 3' и направленных в вершину конуса. Для построения остальных точек выреза используем

либо окружности, лежащие на поверхности конуса, либо его образующие.

4) Строим профильные проекции точек. Точки 1, 10, 2, 6 лежат на очерковых образующих, поэтому находим их профильные проекции в проекционной связи с фронтальными, без дополнительных построений. Для нахождения остальных точек используем координату «у ».

►Примечание: На виде слева профильные проекции очерковых образующих между точками 2 3- 6 3 я 2 '3- б'з отсутствуют, так как вырез сквозной.

5)Соединяем горизонтальные и профильные проекции точек в той же последовательности, что и на фронтальной плоскости проекций с учетом видимости. При этом точки эллипса и гиперболы соединяем плавной кривой при помощи лекала.

6)Строим с учетом видимости проекции линий пересечения плоскостей, образующих вырез, т.е. проекции ребер выреза 3 - 3 ', 4 - 4 ', 8 - 8 '.

60